Question

Решить уравнение sin^2x + 0,5sin2x − 2cos^2x = 0.

Answer 1

Как-то так.
Самое главное тут не забыть сделать обратную замену, а то всякое бывает.

Answer 2

Для решения этого уравнения мы можем использовать тригонометрические тождества, такие как:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)
• 1 - sin^2(x) = cos^2(x)

Применим эти тождества к данному уравнению:

sin^2(x) + 0.5sin(2x) - 2cos^2(x) = 0

sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0 (используя sin(2x) = 2sin(x)cos(x))

2sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 4cos^2(x) = 0 (умножая обе части на 2)

2(sin^2(x) + sin(x)cos(x) + cos^2(x)) - 6cos^2(x) = 0 (преобразуем левую часть)

2(sin(x + π/3))^2 - 6cos^2(x) = 0 (используя тождество sin(x + π/3) = sin(x)cos(π/3) + cos(x)sin(π/3) = sin(x) + sqrt(3)/2 cos(x))

2(sin(x) + sqrt(3)/2 cos(x))^2 - 6cos^2(x) = 0

2sin^2(x) + 2sqrt(3)sin(x)cos(x) + 3cos^2(x) - 6cos^2(x) = 0

2sin^2(x) + 2sqrt(3)sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0

2(sin^2(x) - cos^2(x)) + 2sqrt(3)sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0 (используя тождество cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x))

2(-cos(2x)) + 2sqrt(3)sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0

-4cos^2(x) + 2sqrt(3)sin(x)cos(x) = 0 (используя тождество cos(2x) = 1 - 2sin^2(x))

2sqrt(3)sin(x)cos(x) - 4(1 - sin^2(x)) = 0

2sqrt(3)sin(x)cos(x) - 4 + 4sin^2(x) = 0

2sqrt(3)sin(x)cos(x) + 4sin^2(x) - 4 = 0

sqrt(3)sin(2x) + 4(sin^2(x) - 1) = 0 (используя тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x))

sqrt(3)sin(2x) - 4cos^2(x) = 0

sqrt(3)sin(2x) = 4cos^2(x)

tan(2x) = 4/sqrt(3) = 2sqrt(3)

Теперь мы