Question

На стороне AB равностороннего треугольника ABCABC взята точка DD так, что сумма расстояний от нее до сторон AC и BC равна 16 см. Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины C.

Answer 1

Задание № 7:

На стороне AB равностороннего треугольника ABC взята точка D так, что сумма расстояний от нее до сторон AC и BC равна 16 см. Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины C.

РЕШЕНИЕ: Пусть сторона треугольника а. Одно из данных расстояний m, другое – n. Расстояния – это высоты. Находим площади треугольников:

$S_{ADC}= \frac{1}{2} m *AC=\frac{1}{2} m a \\ S_{BDC}= \frac{1}{2}n *AC=\frac{1}{2} n a$

Теперь их суммируем:

$S_{ADC}+S_{BDC}= \frac{1}{2} (m+n) a$

В левой части полная площадь ABC, правую можно периписать так:

$S_{ABC}= \frac{1}{2} (m+n) *AB=\frac{1}{2} h *AB$

Где h - высота из вершины C, равна сумме расстояний = 16 см

ОТВЕТ: 16 см

Answer 2

Чтобы найти высоту треугольника, проведенную из вершины C, нам понадобится использовать свойства равностороннего треугольника.

Поскольку треугольник ABC является равносторонним, все его стороны и углы равны. Обозначим сторону треугольника AB (и одновременно BC и AC) как a.

Пусть точка D разделяет сторону AB на отрезки AD и DB. Так как сумма расстояний от точки D до сторон AC и BC равна 16 см, мы можем записать:

AD + CD = 16 ...(1) DB + CD = 16 ...(2)

Поскольку треугольник ABC равносторонний, мы знаем, что AD = DB = a/2.

Подставим AD = DB = a/2 в уравнения (1) и (2):

a/2 + CD = 16 ...(1') a/2 + CD = 16 ...(2')

Теперь сложим эти два уравнения:

(a/2 + CD) + (a/2 + CD) = 16 + 16

a + 2CD = 32

2CD = 32 - a

CD = (32 - a)/2

Теперь мы можем найти высоту треугольника, проведенную из вершины C, обозначим ее как h.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная из вершины C, является биссектрисой угла C. Это означает, что она делит сторону AB пополам и перпендикулярна ей. Таким образом, мы можем записать:

h = CD

Таким образом, h = (32 - a)/2.

Итак, высота треугольника, проведенная из вершины C, равна (32 - a)/2 см.