Question

Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел от 12 до 40 включительно

Answer 1

12>13>14....>20 (Первый ноль)
21>22>23>...>30 (Второй ноль)
31>32>33>...>40 (Третий ноль)
Раз 40 включительно, ответ: Три нуля.
12+13>12+14>12+15....>12+18 (+ еще 1 ноль)
13+17 = (+ 1 ноль)
14+ 16 = (+1 ноль)
15+15 = (+1 ноль)
Ответ: 4 (нуля) + 3 (нуля) = 7 нулей.
Далее:
12+21>12+22>12+23...>12+30.
12+28= (+1 ноль)
13 + 27 = (+1 ноль)
14+ 26 = (+1 ноль)
15 + 25 = (+1 ноль)
Ответ: 4 + 7 = 11 нулей.
И далее снова получим + 4 нуля
Итоговый ответ= 15 нулей.

Answer 2

Чтобы определить, сколько нулей заканчивает произведение всех натуральных чисел от 12 до 40, нужно найти количество множителей 2 и 5 в этом произведении.

Количество множителей 2 в произведении всех натуральных чисел от 12 до 40 можно найти, разложив каждое число на множители и посчитав, сколько раз в разложении встречается число 2. Для этого заметим, что каждое второе число в диапазоне от 12 до 40 делится на 2, каждое четвертое число делится на 4 (то есть содержит в разложении два множителя 2), каждое восьмое число делится на 8 (то есть содержит в разложении три множителя 2), и т.д. Таким образом, количество множителей 2 в произведении всех натуральных чисел от 12 до 40 равно:

$$\frac{40}{2} + \frac{40}{4} + \frac{40}{8} + \frac{40}{16} = 20 + 10 + 5 + 2 = 37$$

Аналогично, количество множителей 5 в произведении всех натуральных чисел от 12 до 40 можно найти, разложив каждое число на множители и посчитав, сколько раз в разложении встречается число 5. Заметим, что в диапазоне от 12 до 40 есть только два числа, делящиеся на 5: 15 и 25. Число 15 содержит один множитель 5, а число 25 содержит два множителя 5. Таким образом, количество множителей 5 в произведении всех натуральных чисел от 12 до 40 равно:

$$1 + 2 = 3$$

Так как нуль получается при умножении любого числа на 10, а 10 можно представить в виде произведения 2 и 5, то количество нулей в конце произведения всех натуральных чисел от 12 до 40 будет равно минимуму из количества множителей 2 и множителей 5, то есть 3.

Таким образом, произведение всех натуральных чисел от 12 до 40 заканчивается тремя нулями.