Question

Решить тригонометрическое уравнения: 1+3ctgx=0 и sin2x-cosx=2sinx-1

Answer 1

1. 1+3ctgx=0
1+3*1tgx=0 / умножаем на tgx
tgx+3=0
tgx=-3
x=-archg3+ПиN, N∈z
2.  sin2x-cosx=2sinx-1
2sinxcosx-cosx= 2sinx-1 
2sinxcosx-cosx-(2sinx-1)=0
cosx(2sinx-1)-( 2sinx-1)=0
cosx-1=0      2sinx-1=0
cosx=1         2sinx=1
x=2ПиN        sinx=1/2
N∈z                     x=(-1)ⁿПи/6+ПиN, N∈z

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по отдельности.

1. Уравнение 1 + 3ctgx = 0:

Чтобы решить это уравнение, перенесем 1 на другую сторону:

3ctgx = -1

Затем возьмем котангенс обоих частей уравнения:

ctgx = -1/3

Для нахождения решений возьмем арккотангенс обеих сторон:

x = arctg(-1/3)

Таким образом, решением данного уравнения является x = arctg(-1/3).

2. Уравнение sin2x - cosx = 2sinx - 1:

Приведем его к более простому виду, заменив sin2x на 2sinxcosx:

2sinxcosx - cosx = 2sinx - 1

Теперь выведем все слагаемые синуса на одну сторону, а все слагаемые косинуса на другую сторону:

2sinxcosx - 2sinx = cosx - 1

Факторизуем обе стороны уравнения:

2sinx(cosx - 1) = cosx - 1

Заметим, что (cosx - 1) встречается на обеих сторонах уравнения. Поделим обе части на (cosx - 1):

2sinx = 1

Разделим обе части на 2:

sinx = 1/2

Теперь найдем все значения x, которые удовлетворяют этому уравнению. Возможные значения для синуса равны 1/2, когда x находится в первом и во втором квадрантах (так как синус положителен в этих квадрантах). В первом квадранте синус обратного тангенса равен 1/2, поэтому одно из решений это:

x₁ = π/6

Во втором квадранте обратный тангенс равен 1/2, но отрицательный, поэтому второе решение это:

x₂ = -π/6

Таким образом, решениями уравнения sin2x - cosx = 2sinx - 1 являются x₁ = π/6 и x₂ = -π/6.