Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у=х^2-4х, у=0​

Answer 1

Найдём нули функции

$y(x) = {x}^{2} - 4x \\ {x}^{2} - 4x = 0 \\ x(x - 4) = 0 \\ x = 0 \\ x = 4$

Чтобы найти площадь фигуры (в данном случае, части параболы, ограниченной осью ox), нужно вычислить определённый интеграл

Y(x) - первообразная функции y(x) = x² - 4x

Y(x) = x³/3 - 2x²

S = (64/3 - 32) - (0/3 - 2 * 0) = - 32/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, нам нужно найти точки пересечения этих линий и проинтегрировать функцию площади между ними.

Сначала найдем точки пересечения: Уравнение у = x^2 - 4x может быть записано в виде у = x(x - 4). Таким образом, когда у = 0, то x(x - 4) = 0.

Решая это уравнение, мы получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 4.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя определенный интеграл: Площадь = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) - это верхняя функция (в данном случае y = x^2 - 4x), g(x) - это нижняя функция (в данном случае y = 0), а [a,b] - интервал, где находятся точки пересечения (в данном случае [0, 4]).

Теперь проинтегрируем (f(x) - g(x)) по x от 0 до 4: Площадь = ∫[0,4] (x^2 - 4x - 0) dx.

Раскроем скобки и проинтегрируем: Площадь = ∫[0,4] (x^2 - 4x) dx = ∫[0,4] (x^2) dx - ∫[0,4] (4x) dx.

Интегрируя каждый член по отдельности, получим: Площадь = [(x^3)/3] от 0 до 4 - [2x^2] от 0 до 4.

Вычислим значения: Площадь = [(4^3)/3] - [(2(4)^2)] - [(0^3)/3] + [(2(0)^2)].

Подставим значения: Площадь = [64/3] - [32] - [0/3] + [0].

Упростим: Площадь = 64/3 - 32 = 64/3 - 96/3 = -32/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = x^2 - 4x и у = 0, равна -32/3 или приближенно -10.67 квадратных единиц. Обратите внимание, что значение отрицательное, что означает, что фигура находится ниже оси x и площадь считается с отрицательным знаком.