Question

Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен а, а боковое ребро равно l. Найдите объем конуса вписанного в пирамиду

Answer 1

По теореме косинусов находим сторону основания:
x^2 = l^2 + l^2 - 2*l*l*cos a = 2 * l^2 * (1 - cos a)

Основание - квадрат со стороной x, значит основание вписанного конуса - круг радиуса R = x/2.
V = 1/3 * S * h,   где

площадь основания S = π * R^2

высота h = корень(l^2 - b^2)      (по теореме Пифагора), b это отрезок, проведённый из центра квадраты в его угол. Найдём b как половина диагонали. Диагональ D = x*корень(2), тогда b = D/2 = x/корень(2)

В итоге V = 1/3 * π * 1/4 * x^2 * корень(l^2 - 1/2 * x^2), ну а x мы знаем.

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой о вписанном конусе в правильную пирамиду. Согласно этой теореме, объем вписанного конуса равен трети объема пирамиды.

Для начала, найдем высоту пирамиды h, используя теорему Пифагора. Рассмотрим правильный треугольник, образованный боковой гранью пирамиды, основанием и высотой, опущенной из вершины на основание. Из этого треугольника следует:

l^2 = (a/2)^2 + h^2

h^2 = l^2 - (a/2)^2

h = √(l^2 - (a/2)^2)

Теперь, объем правильной четырехугольной пирамиды можно вычислить по формуле:

V_п = (1/3) * S_осн * h

где S_осн - площадь основания пирамиды, которая равна (a^2 * sqrt(3))/4 для правильной четырехугольной пирамиды.

Таким образом, объем пирамиды:

V_п = (1/3) * (a^2 * sqrt(3))/4 * √(l^2 - (a/2)^2)

V_п = (a^2 * sqrt(3))/12 * √(l^2 - (a/2)^2)

Наконец, объем вписанного конуса равен трети объема пирамиды, то есть:

V_к = (1/3) * V_п

V_к = (a^2 * sqrt(3))/36 * √(l^2 - (a/2)^2)

Ответ: V_к = (a^2 * sqrt(3))/36 * √(l^2 - (a/2)^2).