Question

Сколько существует 10-значных чисел, у которых есть хотя бы две одинаковые цифры?

Answer 1

9 • 10 в 9-й степени –90000000000

Answer 2

Всего 10-ти значных чисел : 9 * 10^9
10-ти значных чисел, у которых все цифры разные: 
9* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 =9*9!
Тогда 10-значных чисел, в которых имеется хотя бы 2 одинаковые цифры:
9 * 10^9 - 9*9! = 9* (10^9 - 9! )

Answer 3

Первое, что следует заметить, это то, что в 10-значном числе может быть только цифры от 0 до 9.

Всего есть 10 возможных цифр, которые могут появиться в любой позиции числа. Если мы рассмотрим 10-значное число, которое не содержит повторяющихся цифр, то для первой цифры есть 10 возможностей, для второй цифры 9 возможностей (потому что мы уже использовали одну цифру), для третьей цифры 8 возможностей и т.д. Таким образом, общее количество 10-значных чисел без повторяющихся цифр равно:

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 10!

Теперь мы можем использовать это число, чтобы найти количество 10-значных чисел, у которых есть хотя бы две одинаковые цифры.

Существует два подхода к решению этой задачи:

1. Мы можем вычислить количество 10-значных чисел, которые не содержат повторяющихся цифр, и вычесть это число из общего количества 10-значных чисел (которое равно 10^10).

2. Мы можем рассмотреть все возможные комбинации двух или более повторяющихся цифр и вычислить количество 10-значных чисел, которые содержат каждую из этих комбинаций.

Первый подход является более прямолинейным, поэтому мы будем использовать его.

Чтобы вычислить количество 10-значных чисел без повторяющихся цифр, мы использовали перестановки 10 объектов, что дало нам 10! (10 факториал) различных чисел.

Теперь, чтобы вычислить количество 10-значных чисел с повторяющимися цифрами, мы можем использовать принцип инклюзии-эксклюзии. Этот принцип говорит, что если у нас есть несколько множеств (в данном случае, множества 10-значных чисел, которые содержат определенные комбинации повторяющихся цифр), мы можем вычислить количество элементов, которые встречаются хотя бы в одном из этих множеств, с помощью следующей формулы:

|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = Σ|Ai| - Σ|Ai ∩ Aj| + Σ|Ai ∩ Aj ∩ Ak| - ... + (-1)^(n-1)|A1 ∩