Question

В некотором треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, делят этот угол на четыре равные части. Найдите углы этого треугольника.

Answer 1

Пусть D -  точка пересечения биссектрисы с описанной вокруг треугольника окружностью. GD || BF, то есть угол FBD = углу BDE = α. Значит BE=ED и BG=GD (как радиусы описанной окружности). Отсюда угол DBG = углу DBE. В свою очередь это означает, что точка G и E совпадают, значит AC - диаметр описанной окружности. Вписанный угол, который опирается на диаметр равен 90 градусов. Следовательно α=22,5, угол ACB = 90, угол ABC = 22.5, а угол BAC = 90 - 22.5 = 67.5

Answer 2

Пусть треугольник ABC имеет медиану AM, биссектрису AD и высоту AH, проведенные из вершины A, и они делят угол BAC на четыре равные части.

Поскольку AM делит угол BAC на 4 равные части, каждая из них равна 90 градусов / 4 = 22.5 градуса.

Также известно, что биссектриса AD делит угол BAC на 4 равные части. Пусть каждая из этих частей равна x градусов. Тогда получаем уравнение:

x + x + 22.5 + x + 22.5 + x = 180

4x + 45 = 180

4x = 180 - 45

4x = 135

x = 135 / 4

x = 33.75

Таким образом, каждая из четырех равных частей угла BAC равна 33.75 градуса.

Осталось найти остальные углы треугольника. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем найти два других угла следующим образом:

Угол ABC = 180 - 2x = 180 - 2 * 33.75 = 180 - 67.5 = 112.5 градусов

Угол BCA = 180 - 3x = 180 - 3 * 33.75 = 180 - 101.25 = 78.75 градусов

Таким образом, углы треугольника ABC равны:

Угол BAC = 22.5 градусов Угол ABC = 112.5 градусов Угол BCA = 78.75 градусов