Question

Решите во множестве комплексных чисел уравнение z^2 + z + 1 = 0.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

D = 1 - 4 = -3 = 3 * (-1) = 3i²;

z = ( -1 ± i*√3)/2

Answer 2

Чтобы решить уравнение z^2 + z + 1 = 0 в множестве комплексных чисел, мы можем использовать квадратное уравнение.

Пусть z = a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица.

Заменим z в исходном уравнении:

(a + bi)^2 + (a + bi) + 1 = 0

(a^2 + 2abi - b^2) + (a + bi) + 1 = 0

Теперь сгруппируем действительные и мнимые части:

(a^2 - b^2 + a + 1) + (2ab + b)i = 0

Для этого уравнения должны быть равными нулю и действительная, и мнимая части. Это приводит к следующей системе уравнений:

a^2 - b^2 + a + 1 = 0 ...........(1) 2ab + b = 0 .......................(2)

Рассмотрим уравнение (2):

2ab + b = b(2a + 1) = 0

Отсюда следует, что b = 0 или 2a + 1 = 0.

1. Если b = 0, то уравнение (1) принимает вид:

a^2 + a + 1 = 0

Решая это квадратное уравнение, получаем:

a = (-1 ± √3i) / 2

Таким образом, получаем два решения: z_1 = (-1 + √3i) / 2 и z_2 = (-1 - √3i) / 2.

2. Если 2a + 1 = 0, то a = -1/2.

Подставим это значение в уравнение (1):

(-1/2)^2 - b^2 - 1/2 + 1 = 0

1/4 - b^2 + 1/2 = 0

• b^2 + 3/4 = 0

b^2 = 3/4

b = ± √3/2

Таким образом, получаем два дополнительных решения: z_3 = -1/2 + (√3/2)i и z_4 = -1/2 - (√3/2)i.

Итак, уравнение z^2 + z + 1 = 0 имеет четыре решения в множестве комплексных чисел:

z_1 = (-1 + √3i) / 2 z_2 = (-1 - √3i) / 2 z_3 = -1/2 + (√3/2)i z_4 = -1/2 - (√3/2)i