Question

покажите что последовательность заданная формулой общего члена является арифметической прогрессией и найдите S10: 1) An= 5n+3 2) An=5-n/2

Answer 1

Арифметическая прогрессия определяется тем, что разность между двумя последовательными членами постоянна.

1. A(n) = 5n+3

Индекс следующего числа будет n+1, а его значение - 5(n+1)+3.
Найдем разность между A(n+1) и A(n):
A(n+1)-A(n) = 5(n+1)+3 - (5n+3) = 5n+5+3-5n-3 = 5

Разность не зависит от n, значит, она постоянна и последовательность является арифметической прогрессией.

2. A(n) = 5 - n/2 (или (5-n)/2 - не принципиально, т.к. сводится к виду 2,5 - n/2, т.е. C - n/2 в общем виде)

A(n+1) = 5 - (n+1)/2 = 5 - 1/2 - n/2

A(n+1)-A(n) = 5 - 1/2 - n/2 - (5 - n/2) = 5 - 1/2 - n/2 - 5 + n/2 = -1/2 - не зависит от n, а значит, постоянна.

Answer 2

Для показания, что последовательность является арифметической прогрессией, мы должны убедиться, что между любыми двумя последовательными членами есть постоянная разность.

1. Последовательность задана формулой общего члена An = 5n + 3. Для того, чтобы убедиться, что это арифметическая прогрессия, найдем разность между последовательными членами:

A(n+1) - An = (5(n+1) + 3) - (5n + 3) = 5n + 5 + 3 - 5n - 3 = 5.

Мы видим, что разность между любыми двумя последовательными членами равна 5, что является постоянной. Поэтому последовательность An = 5n + 3 является арифметической прогрессией.

2. Последовательность задана формулой общего члена An = 5 - n/2. Для того, чтобы убедиться, что это арифметическая прогрессия, найдем разность между последовательными членами:

A(n+1) - An = (5 - (n+1)/2) - (5 - n/2) = 5 - (n+1)/2 - 5 + n/2 = -1/2.

Мы видим, что разность между любыми двумя последовательными членами равна -1/2, что является постоянной. Поэтому последовательность An = 5 - n/2 является арифметической прогрессией.

Чтобы найти сумму первых 10 членов (S10) в каждой последовательности, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

S10 = (n/2)(A1 + An),

где n - количество членов последовательности (в данном случае n = 10), A1 - первый член последовательности, An - последний член последовательности.

1. Для An = 5n + 3: A1 = 5(1) + 3 = 8, An = 5(10) + 3 = 53.

S10 = (10/2)(8 + 53) = 5(61) = 305.

2. Для An = 5 - n/2: A1 = 5 - 1/2 = 4.5, An = 5 - 10/2 = 0.

S10 = (10/2)(4.5 + 0) = 5(4.5) = 22.5.

Таким образом, S10 для первой последовательности равна 305, а для второй последовательности равна