Question

Найдите общее решение уравнений xy'+2y=0 с объяснением пожалуйста и без интернета. прошу

Answer 1

Ответ:

dy/dx=y²(x+1)/(x²(y-1))

dy/dx=(y²/(y-1))×((x+1)/x²)

(y-1)dy/y²=(x+1)dx/x²

lny+1/y=lnCx-1/x

1/y+1/x=ln(Cx/y)

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем использовать метод разделения переменных. Данное уравнение можно представить в виде:

xy' + 2y = 0.

Сначала выделим y' и разделим обе части уравнения на xy:

y' = -2y / x.

Теперь мы можем разделить переменные, переместив y на одну сторону и x на другую:

dy / y = -2 dx / x.

Затем проинтегрируем обе стороны уравнения. Интеграл от dy / y равен ln(|y|), а интеграл от -2 dx / x равен -2ln(|x|):

ln(|y|) = -2ln(|x|) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь применим экспоненту к обеим сторонам уравнения:

|y| = e^(-2ln(|x|) + C).

Мы можем упростить выражение, используя свойства логарифмов:

|y| = e^C / (|x|^2).

Здесь e^C - новая постоянная, которую мы можем записать как A, поскольку e^C - это просто другая постоянная. Таким образом, мы получаем:

|y| = A / (|x|^2).

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если y ≠ 0, мы можем избавиться от модуля, получив:

y = A / (x^2).

2. Если y = 0, решение будет y = 0.

Таким образом, общее решение уравнения xy' + 2y = 0 имеет две формы:

1. y = A / (x^2), где A - произвольная константа, A ≠ 0.
2. y = 0.