Question

В заданном треугольнике высота является его медианой. Докажите, что этот треугольник равнобедренный. Плз срочняк надо!

Answer 1

По первому признаку равенства треугольников, - два треугольника равны, если соответственно равны между собой в каждом треугольнике две стороны и угол между ними.
Если в заданном треугольнике высота является его медианой, значит она:
1. перпендикулярна основанию треугольника
2. делит это основание на 2 равные части
Таким образом, получаем 2 прямоугольных треугольника с общей стороной и равными катетами, то есть имеем 2 треугольника с двумя соответственно равными сторонами и прямым углом между ними. => Эти треугольники равны.
Следовательно, гипотенузы в этих треугольниках также равны => данный треугольник равнобедренный. 

Answer 2

Давайте докажем, что если в треугольнике высота является медианой, то он является равнобедренным.

Предположим, что в заданном треугольнике высота, проведенная из вершины A, является медианой. Обозначим основание высоты как точку M, основание медианы как точку N, а точку пересечения медианы и высоты как точку P, как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
  A
 / \
/   \

/
B-------C

Поскольку высота является медианой, она делит основание BC пополам, т.е. BM = MC.

Также из определения высоты треугольника следует, что угол BAP равен углу CAP, поскольку оба угла являются прямыми углами.

Рассмотрим треугольники ABM и ACM. У них две стороны равны: AB = AC (по условию треугольник ABC является равносторонним) и BM = MC (так как высота является медианой).

Теперь докажем, что у этих треугольников равны также и углы.

Угол BAM равен углу CAM, так как это вертикальные углы (углы, образованные пересечением двух прямых).

Теперь мы знаем, что у треугольников ABM и ACM две стороны равны, а углы между ними равны. Следовательно, по признаку равенства треугольников эти два треугольника равны.

Из равенства треугольников ABM и ACM следует, что углы AMB и AMC равны, так как соответствующие углы равных треугольников равны.

Таким образом, в треугольнике ABC углы AMB и AMC равны. Поскольку угол BAP равен углу CAP, у нас есть две пары равных углов, что означает, что треугольник ABC является равнобедренным.

Таким образом, если высота является медианой в треугольнике, то этот треугольник равнобедренный.