Question

Для каждого значения a решите уравнение: x² + (1 - 3a)x + 2a² - 2 = 0

Answer 1

$x^2+(1-3a)x+2a^2-2=0\\D_0=(1-3a)^2-4(2a^2-2)=1-6a+9a^2-8a^2+8=\\a^2-6a+9=(a-3)^2\geq 0$

Квадрат всегда больше или равен нуля нет смысла расписывать когда дискриминант больше нуля, а когда равен т.к. если дискриминант равен нулю, то просто √0 , а если больше нуля, то |a-3|, модуль тоже может раскрываться как 0 и мы не потеряем корни если запишем сразу для двух корней, просто когда дискриминант равен нулю, эти два корня схлопнутся в один.

$x=\frac{-1+3a\pm \sqrt{(a-3)^2}}{2}=\frac{-1+3a\pm |a-3|}{2}$

Не важно как раскроется модуль, всё равно будет ±, поэтому модуль можно убрать.

$\begin{matrix}\begin{bmatrix}x=\frac{-1+3a+a-3}{2}\\x=\frac{-1+3a-a+3}{2}\end{matrix}&\begin{bmatrix}x=\frac{4a-4}{2}\\x=\frac{2a+2}{2}\end{matrix}&\begin{bmatrix}x=2a-2\\x=a+1\end{matrix}\end{matrix}\\Otvet:\\\\\forall a:x=\begin{Bmatrix}2a-2;a+1\end{Bmatrix}$

Answer 2

Для решения уравнения x² + (1 - 3a)x + 2a² - 2 = 0, можно использовать квадратное уравнение в общей форме:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a),

где a, b и c - коэффициенты в уравнении.

Применяя эту формулу к нашему уравнению, получим:

a = 0: x² + (1 - 3(0))x + 2(0)² - 2 = 0, x² + x - 2 = 0.

Коэффициенты: a = 1, b = 1, c = -2.

Подставляем значения в формулу: x = (-(1) ± √((1)² - 4(1)(-2))) / (2(1)).

Вычисляем: x₁ = (-1 + √(1 + 8)) / 2 = (-1 + √9) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1. x₂ = (-1 - √(1 + 8)) / 2 = (-1 - √9) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2.

Таким образом, при a = 0 получаем два решения: x₁ = 1 и x₂ = -2.

Точно таким же образом можно решить уравнение для других значений a, просто заменяя коэффициенты в формуле и вычисляя корни.