Question

Напишите уравнение касательной f(x)=tgx+14; x0=п/4

Answer 1

$y=f( x_{0} )+f'( x_{0} )(x- x_{0} )$
$f(x)=tgx+14, x_{0} = \frac{ \pi }{4}$
$f( x_{0} )=tg \frac{ \pi }{4} +14=15$
$f'(x)= \frac{1}{cos^2x}$
$f'( x_{0} )= \frac{1}{ \frac{2}{4} } =2$
$y=15+2(x- \frac{ \pi }{4} )$
$y=15+2x- \frac{ \pi }{2}$

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к функции f(x) = tg(x) + 14 в точке x₀ = π/4, мы должны использовать производную функции в этой точке.

Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx(tg(x) + 14)

Производная tg(x) равна секансу в квадрате (sec^2(x)), поэтому: f'(x) = sec^2(x)

Теперь, чтобы найти угловой коэффициент касательной, мы должны вычислить f'(x₀): f'(π/4) = sec^2(π/4)

Значение sec^2(π/4) равно 2, так как sec(π/4) = √2.

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен 2.

Для того чтобы найти точку на касательной, мы знаем, что касательная проходит через точку (x₀, f(x₀)). Подставим x₀ = π/4 в функцию f(x), чтобы найти соответствующее значение y:

f(π/4) = tg(π/4) + 14

Значение tg(π/4) равно 1, поэтому: f(π/4) = 1 + 14 = 15

Таким образом, точка на касательной равна (π/4, 15).

Используя угловой коэффициент и точку на касательной, мы можем записать уравнение касательной в форме "y = mx + c":

y = 2x + c

Подставим координаты точки (π/4, 15) и решим уравнение для c:

15 = 2(π/4) + c 15 = (π/2) + c c = 15 - (π/2) c = (30 - π)/2

Таким образом, уравнение касательной f(x) = tg(x) + 14 в точке x₀ = π/4 имеет вид:

y = 2x + (30 - π)/2