Question

Сколько способов есть вырезать две клетки из шахматной доски так, чтобы оставшуюся часть модно было разрезать на доминошки (прямоугольники 1 * 2)?

Answer 1

Ответ:

1024

Пошаговое объяснение:

1) Т.к. соседи клетки по стороне имеют противоположный цвет (1), то доминошка накрывает по одной клетке черного и белого цвета.

2) Если вырезать две клетки одного цвета, кол-во белых и черных клеток станет неравным -> накрыть доминошками не получится

3) Докажем, что при вырезании любой пары белой и черной клеток доску можно накрыть доминошками.

Сначала построим замкнутый путь, обойдя каждую клетку доски по одному разу (пример на изображении, для удобства восприятия красным обозначен путь, синим - разделители). Из (1) очевидно следует, что любой такой путь (он НЕ единственный) состоит из чередующихся черных и белых клеток.

Вырезав две клетки, мы разобьем путь на два отрезка (нулевая длина также возможна). Т.к. клетки на пути чередуются, а вырезаем мы 2 клетки разных цветов, то "расстояние" между вырезами на пути (кол-во клеток между вырезами, если считать их в порядке обхода по красной линии - по пути) будет четным. А значит "длины" обоих отрезков пути (кол-во клеток в их составе) четны. А тогда мы всегда можем замостить из доминошками, если будем класть их друг за другом вдоль пути.

Ч.т.д.

4) Осталось посчитать число способов вырезать одну черную и одну белую клетки из доски: клеток каждого цвета по 32, а значит число способов $32*32=1024$. Это и есть искомый ответ

Answer 2

Чтобы определить количество способов вырезания двух клеток из шахматной доски так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на доминошки, рассмотрим несколько случаев.

1. Если две вырезанные клетки находятся на одном и том же цвете (например, обе белые или обе черные), то оставшаяся часть шахматной доски будет состоять только из клеток другого цвета. В этом случае невозможно разрезать оставшуюся часть на доминошки, поэтому количество способов равно 0.

2. Если две вырезанные клетки находятся на разных цветах (например, одна белая и одна черная), то оставшаяся часть шахматной доски будет состоять из равного количества клеток каждого цвета. Это означает, что оставшуюся часть можно разрезать на доминошки.

При таком разрезе можно рассмотреть два варианта: a. Вырезаны две клетки одного цвета, и они находятся в углу доски. В этом случае оставшаяся часть будет иметь размер (7 x 7), и ее можно разрезать на (7 x 7) / (1 x 2) = 49 доминошек. b. Вырезаны две клетки одного цвета, и они не находятся в углу доски. В этом случае оставшаяся часть будет иметь размер (8 x 6), и ее можно разрезать на (8 x 6) / (1 x 2) = 24 доминошки.

Суммируя оба варианта, получаем общее количество способов: 49 + 24 = 73 способа.

Таким образом, есть 73 способа вырезать две клетки из шахматной доски так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на доминошки.