Question

построить четырёхугольник ABCD по координатам его вершин: A(3;1) B(-1;0) C(-3;-3) D(1;-2) Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD.

Answer 1

Точка пересечения с координатами (0;-1)

Answer 2

Для нахождения точки пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD воспользуемся формулой пересечения двух прямых.

Уравнение прямой проходящей через точки A(3;1) и C(-3;-3) можно найти, используя формулу наклона прямой: m₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁),

где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек A и C соответственно.

Вычислим наклон первой диагонали: m₁ = (1 - (-3)) / (3 - (-3)) = 4 / 6 = 2 / 3.

Теперь найдём уравнение прямой, проходящей через точку A(3;1) с наклоном 2/3: y - y₁ = m₁(x - x₁).

Подставляем значения: y - 1 = (2/3)(x - 3).

Упростим уравнение: y - 1 = (2/3)x - 2.

Перепишем уравнение в общем виде: 2x - 3y - 7 = 0.

Точно таким же образом находим уравнение прямой, проходящей через точки B(-1;0) и D(1;-2) и получаем: 3x + 2y - 6 = 0.

Теперь у нас есть два уравнения прямых, заданных в общем виде. Чтобы найти точку пересечения, решим систему уравнений:

2x - 3y - 7 = 0, 3x + 2y - 6 = 0.

Можно воспользоваться методом подстановки, методом сложения или другими методами решения системы уравнений. В данном случае воспользуемся методом сложения.

Умножим первое уравнение на 2 и второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при y сократились: 4x - 6y - 14 = 0, 9x + 6y - 18 = 0.

Сложим оба уравнения: 4x - 6y - 14 + 9x + 6y - 18 = 0, 13x - 32 = 0, 13x = 32, x = 32 / 13.

Подставим x в первое уравнение: 2(32/13) - 3y - 7 = 0, 64/13 - 3y - 7 = 0, -3y = -64/13 + 91/13, -3y = 27/13, y = (27/13) * (-1/3), y = -9/13.

Таким образом, точка пересечения диагоналей четырёхуг