Question

Не выполняя построения графика функции y=-5x²+6x , найдите ее наибольшее или наименьшее значение.

Answer 1

Наибольшее значение функции будет равно 1,8; наименьшее значение функции будет равно минус бесконечности

Answer 2

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции без построения графика, мы можем использовать метод завершения квадратного трехчлена (completing the square).

Функция дана в виде y = -5x² + 6x. Для нахождения наименьшего или наибольшего значения, мы должны привести данную функцию к вершине параболы, которая является экстремумом.

Сначала преобразуем данную функцию.

y = -5x² + 6x

Раскроем скобки:

y = -5x² + 6x = -5(x² - (6/5)x)

Затем мы хотим завершить квадрат внутри скобок, чтобы привести функцию к виду y = a(x - h)² + k, где (h, k) - координаты вершины параболы.

Для этого нам нужно добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при x:

y = -5(x² - (6/5)x + (6/10)² - (6/10)²)

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

y = -5[(x - 6/10)² - (6/10)²]

y = -5(x - 6/10)² + 5(6/10)²

Теперь наша функция имеет вид y = a(x - h)² + k, где a = -5, h = 6/10, k = 5(6/10)².

Мы видим, что значение a = -5 отрицательное, поэтому парабола открывается вниз и имеет вершину в точке (h, k), где h = 6/10 и k = 5(6/10)².

Таким образом, мы нашли координаты вершины параболы, которая представляет экстремум функции y = -5x² + 6x. Чтобы определить, является ли это наибольшим или наименьшим значением, мы можем обратиться к коэффициенту a.

Поскольку a = -5 отрицательное, вершина параболы представляет наибольшее значение функции.