Question

В треугольнике АВС угол В в два раза больше угла А, а длина стороны ВС равна 200. Найдите биссектрису ВD этого треугольника, если DС = 125.

Answer 1

Тр ВДС:
прямоугольный, угол ВДС = 90
найдем угол С:
косинус угла С = 125/200=5/8
угол С =  arccos5/8
ВД = син (arccos5/8) *200

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой биссектрисы в треугольнике.

Пусть угол А в треугольнике АВС равен x градусам. Тогда угол В будет равен 2x градусам.

Сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому:

x + 2x + угол C = 180 градусов

3x + угол C = 180 градусов

угол C = 180 - 3x градусов

Теперь применим теорему синусов для нахождения биссектрисы ВD.

В синусе угла В разделенном на сторону ВС равен синусу угла ВD разделенному на сторону ВD:

sin(2x) / 200 = sin(x) / 125

Раскроем синус 2x по формуле двойного аргумента:

2sin(x)cos(x) / 200 = sin(x) / 125

Упростим уравнение, убрав общий множитель sin(x):

2cos(x) / 200 = 1 / 125

Перемножим оба выражения на 200 и разделим на 125:

2cos(x) = 200 / 125

2cos(x) = 8 / 5

cos(x) = 4 / 5

Теперь можем найти sin(x) с использованием тригонометрического тождества:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

sin^2(x) + (4/5)^2 = 1

sin^2(x) = 1 - (16/25)

sin^2(x) = 9/25

sin(x) = sqrt(9/25) = 3/5

Таким образом, мы получили значения sin(x) и cos(x), и теперь можем найти биссектрису ВD, применив теорему синусов в треугольнике ВCD:

BD / sin(2x) = DC / sin(x)

BD / (2sin(x)cos(x)) = 125 / (3/5)

BD / (2 * 3/5 * 4/5) = 125 / (3/5)

BD / (24/25) = 125 / (3/5)

BD = (125 * 24) / (3 * 5)

BD = 500

Таким образом, биссектриса ВD равна 500.