Question

1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и М2, параллельно вектору а=(1,2,1), если М1(2,2,1), М2(3,3,2) 2) Написать канонические и параметрические уравнения прямой заданной общими уравнениями: 4х+2у+3z+2=0; 4x+3y+4z+1=0

Answer 1

1.

Уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку с координатами (x₀,y₀,z₀), в общем виде записывается так:

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀)= 0, где коэффициенты A,B,C - координаты вектора нормали $\overline n$

Найдём вектор $\overline{M_1M_2} = \{1,1,1\}$

Вектор нормали $\overline n$ найдём из векторного произведения векторов a и M₁M₂

$\overline{n} =[\overline{a}~\times~\overline{M_1M_2}] = \begin{vmatrix} \overline i & \overline j & \overline k \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \overline i - \overline k = \{1, 0, -1\}$

Плоскость задаётся уравнением:

(x - 2) + 0(y - 2) - (z - 1) = 0

Ответ: x - z - 1 = 0

2.

Чтобы записать уравнение прямой в каноническом и параметрическом виде необходимо найти направляющий вектор этой прямой и точку, через которую эта прямая проходит

Найдём координаты точки A, которая принадлежит прямой

Пусть z = 0

Решим систему: $\left \{\begin{array}{lcl} {{4x + 3y=-1} \\ {4x+2y=-2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow ~~\left \{\begin{array}{lcl} {{y=1} \\ {x=-1}}\end{array} \right.$

Координаты точки A(-1, 1, 0)

Найдём координаты точки B, которая принадлежит прямой

Пусть z = -4

Снова решим систему: $\left \{\begin{array}{lcl} {{4x + 3y=15} \\ {4x+2y=10}}\end{array} \right. \Leftrightarrow ~~\left \{\begin{array}{lcl} {{y=5} \\ {x=0}}\end{array} \right.$

Координаты точки B(0, 5, -4)

Найдём направляющий вектор прямой$\overline{AB} = \{0 - (-1), 5 - 1, -4-0\} = \{1,4,-4\}$

Запишем уравнение прямой в каноническом виде: $\frac{x+1}{1} =\frac{y-1}{4} =\frac{z}{-4}$

И в параметрическом виде: $\left \{\begin{array}{lcl} {{x=t-1} \\ {y=4t+1} \\ {z = -4t}}\end{array} \right. t \in \mathbb{R}$

Answer 2

1. Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2, 2, 1) и М2(3, 3, 2), параллельно вектору а = (1, 2, 1), мы можем использовать следующий подход:

• Найдем вектор, соединяющий точки М1 и М2. Это можно сделать, вычислив разность координат точек М2 и М1:

  вектор М1М2 = М2 - М1 = (3, 3, 2) - (2, 2, 1) = (1, 1, 1).

• Так как мы ищем плоскость, параллельную вектору а, то она будет иметь такой же нормальный вектор, как и вектор а.

• Теперь мы имеем два вектора: нормальный вектор плоскости (1, 2, 1) и вектор М1М2 (1, 1, 1). Их векторное произведение будет нормальным вектором искомой плоскости:

  нормальный вектор плоскости = (1, 2, 1) × (1, 1, 1).

• Вычислим векторное произведение:

  (1, 2, 1) × (1, 1, 1) = [(2 * 1 - 1 * 1), (1 * 1 - 1 * 1), (1 * 1 - 1 * 2)] = (1, 0, -1).

• Теперь у нас есть нормальный вектор плоскости (1, 0, -1) и одна из точек плоскости (например, М1(2, 2, 1)). Мы можем использовать эти данные, чтобы записать уравнение плоскости в общем виде:

  уравнение плоскости: 1 * (x - 2) + 0 * (y - 2) - 1 * (z - 1) = 0.

  Упрощая это уравнение, получим:

  x - 2 - (z - 1) = 0,

  или

  x - z + 1 = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2, 2, 1) и М2(3, 3, 2), параллельно вектору а=(1, 2, 1), равно x - z + 1 = 0.

2. Каноническое уравнение прямой задано в виде:

   (x - x₀) / a = (y - y₀) / b = (z - z₀) / c,

   где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки, через которую проходит прямая, и (a