Question

РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! Вычислить координаты центра масс однородного тела V, ограниченного поверхностями: 3√(x^2 + z^2) = y; x^2 + z^2 = 16; y ≥ 0.

Answer 1

Ответ:

"Центр тяжести тела

Подобно тому, как задача о вычислении центра тяжести плоской фигуры вычислялась с помощью двойного интеграла, задача об отыскании центра тяжести тела решается аналогичным способом с помощью тройного интеграла."

z0 = integral(z*dx*dy*dz) / integral(dx*dy*dz)

причем по z пределы интегрирования от 0 до 2/3, поскольку поверхность sqrt(x^2+y^2)=2 пересекает конус 3z=sqrt(x^2+y^2) как раз при z=2/3

integral(z*dx*dy*dz) = integral(z*(pi*2^2-pi*9*z^2)*dz) = pi* integral((4z-9*z^3)*dz) = pi*(4z^2/2-9z^4/4) от 0 до 2/3 = pi*(4(2/3)^2/2-9*(2/3)^4/4) = 1.3962634

integral(dx*dy*dz) = integral((pi*2^2-pi*9*z^2)*dz) = pi* integral((4-9*z^2)*dz) = pi*(4z-9z^3/3) от 0 до 2/3 = pi*(4*(2/3)-9*(2/3)^3/3) = 5.5850536

z0 = 1.3962634/5.5850536 = 0.25

Answer 2

Для решения этой задачи о найдении координат центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями, мы должны вычислить интегралы для нахождения координат x, y и z.

В данном случае имеем систему уравнений:

1. 3√(x^2 + z^2) = y
2. x^2 + z^2 = 16
3. y ≥ 0

Сначала решим уравнение (2) для x^2 + z^2 = 16:

x^2 + z^2 = 16 z^2 = 16 - x^2 z = √(16 - x^2)

Теперь подставим это значение z в уравнение (1):

3√(x^2 + (√(16 - x^2))^2) = y 3√(x^2 + 16 - x^2) = y 3√16 = y 3 * 4 = y y = 12

Таким образом, получили, что y = 12.

Итак, координаты центра масс (x, y, z) однородного тела будут (x, 12, z), где z = √(16 - x^2).

Теперь найдем координату x, интегрируя по площади тела V:

x̅ = (1 / V) * ∫∫∫ x * dm

где x̅ - координата центра масс по оси x, V - объем тела, dm - элемент массы.

Для нашего тела V, объем можно найти, интегрируя по области, ограниченной поверхностями:

V = ∫∫∫ dV

Теперь найдем координату x̅:

x̅ = (1 / V) * ∫∫∫ x * dV

Заметим, что тело V симметрично относительно оси x, поэтому интегралы по y и z равны нулю.

Таким образом, у нас остается только интеграл по x:

x̅ = (1 / V) * ∫∫∫ x * dV = (1 / V) * ∫∫∫ x * dx * dy * dz = (1 / V) * ∫∫(√(16 - x^2)) * x * dx * dz

Используя полярные координаты, x = r * cos(θ), и dx * dz = r * dr * dθ, можно перейти к следующему выражению:

x̅ = (1 / V) * ∫∫(√(16 - r^2 * cos^2(θ))) * r * cos(θ) * r * dr * dθ = (1 / V) * ∫∫(r^2 * cos(θ) * √(16 - r^2