Question

При каких значениях b и c точка m(-9; -111), будет вершиной параболы y=x^2+b*x+c ?

Answer 1

Координаты вершины параболы, заданной уравнением вида
$y=ax^2+bx+c$
 можно найти так
$x_{0}= -\frac{b}{2a} \\ \\ y_{0}=ax_{0}^2+bx_0+c$   [1]
У нас в уравнении параболы коэффициент а=1. Коэффициенты b и c требуется найти. Подставим в формулы [1] вместо x₀, y₀ соответствующие координаты точки M и получим систему уравнений с 2-мя неизвестными относительно неизвестных b и c.
 
$\left \{ {{-9=- \frac{b}{2} } \atop {-111=(-9)^2-9b}+c} \right.$

Решаем её .
$b=2 \cdot 9=18 \\ \\ c=-111-81+18 \cdot 9=-30$
 
Ну и график полученной параболы примерно таков.

Answer 2

Чтобы точка m(-9; -111) была вершиной параболы y=x^2+b*x+c, необходимо, чтобы координаты вершины параболы совпадали с координатами точки m.

Координаты вершины параболы в общем виде выражаются как (-b/2a, c - b^2/4a), где a, b и c - коэффициенты параболы в уравнении y=ax^2+bx+c.

В данном случае a=1, так как у нас парабола имеет уравнение y=x^2+b*x+c.

Подставляя значения координат точки m в формулу вершины параболы, получим следующую систему уравнений:

-9 = -b/2 -111 = c - b^2/4

Из первого уравнения найдем b: -9 = -b/2 -9 * 2 = -b b = 18

Подставим найденное значение b во второе уравнение: -111 = c - (18)^2/4 -111 = c - 324/4 -111 = c - 81 c = -111 + 81 c = -30

Таким образом, когда b = 18 и c = -30, точка m(-9; -111) будет вершиной параболы y=x^2+18x-30.