Question

Доказать равенство: a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)=(a-b)(b-c)(c-a)

Answer 1

(a+c)(a-c)=a^2-c^2; ((a-b)+c)(a--b)-c))=(a-b)^2-c^2= a^2-2ab +b^2-c^2; b(2a-b)=2ab-b^2; Со знаками. a^2-c^2-2ab+b^2-a^2+2ab-b^2+c^2=0

Answer 2

Чтобы доказать равенство, начнем с левой стороны и преобразуем ее:

a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)

= ab^2 - ac^2 + bc^2 - ab^2 + ca^2 - cb^2

= - ac^2 + bc^2 + ca^2 - cb^2

Теперь рассмотрим правую сторону:

(a - b)(b - c)(c - a)

= (ab - ac - b^2 + bc)(c - a)

= abc - a^2c - b^2c + abc + b^2a - bca - ac + a^2 + bc - ab

= - ac^2 + bc^2 + ca^2 - cb^2

Мы видим, что левая и правая стороны равны друг другу, поэтому доказывается равенство:

a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = (a - b)(b - c)(c - a)