Question

При каких значениях b график функции y=4x^2+bx+1 не имеет общих точек с осью абсцисс

Answer 1

Фото .,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,

Answer 2

График функции $y = 4x^2 + bx + 1$ не имеет общих точек с осью абсцисс, когда значение $y$ всегда положительное или всегда отрицательное.

Для того, чтобы определить, при каких значениях $b$ это условие выполняется, можно рассмотреть дискриминант квадратного трёхчлена. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a = 4$, $b = b$ и $c = 1$.

Если дискриминант $D$ положителен, то квадратное уравнение имеет два различных корня, и график функции пересекает ось абсцисс в двух точках.

Если дискриминант $D$ равен нулю, то квадратное уравнение имеет один корень (двойной), и график функции касается оси абсцисс в одной точке.

Если дискриминант $D$ отрицателен, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, и график функции не пересекает ось абсцисс.

Таким образом, для того чтобы график функции $y = 4x^2 + bx + 1$ не имел общих точек с осью абсцисс, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант $D$ был отрицательным: $D < 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = b^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = b^2 - 16$

Таким образом, условие для отсутствия общих точек с осью абсцисс выражается следующим образом:

$D < 0$

$b^2 - 16 < 0$

Решим это неравенство:

$b^2 < 16$

$-4 < b < 4$

Таким образом, при значениях $b$ из интервала $(-4, 4)$ график функции $y = 4x^2 + bx + 1$ не имеет общих точек с осью абсцисс.