Question

Петр открыл вклад под 10% годовых. Через год, после начисления банком процентов, он снял со счета часть денег, а еще через год снова внес 100 000 рублей. Если бы он не снимал деньги, то через три года после открытия счета получил бы на 4 950 рублей больше. Сколько рублей снял Петр?

Answer 1

Пусть a - размер вклада, b - некоторая снятая сумма.

Тогда имеем:
a   --- 1 год.
a + 10% * a = 1,1a    ---  начисление % за 1-й год
1,1a - b    --- снятие некоторой суммы
1,1(1,1a - b) = 1,21a - 1,1b   --- начисление % за 2 год
1,21a - 1,1b + 100000   --- внесённые деньги
1,1(1,21a - 1,1b + 100000)    ---  начисление % за 3 год

Если бы Пётр не снимал деньги:
a   --- 1 год.
a + 10% * a = 1,1a    ---  начисление % за 1-й год
1,1 * 1,1a = 1,21a   --- начисление % за 2 год
1,21a + 100000  --- внесённые деньги
1,1(1,21a + 100000)    ---  начисление % за 3 год

Известно, что 1,1(1,21a + 100000) на 4950 рублей больше, чем 1,1(1,21a - 1,1b + 100000)
Составим уравнение:
1,1(1,21a + 100000) - 4950 = 1,1(1,21a - 1,1b + 100000)
1,331a + 110000 - 4952 = 1,331a - 1,21b + 110000    | - (1,331a + 110000)
-4950 = -1,21b
b = 495000/121 = 45000/11 ≈ 4091 рублей

Ответ: 45000/11 или 4091 рублей снял Пётр

Answer 2

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть Петр положил X рублей на вклад под 10% годовых.

После первого года сумма на его счете увеличится на 10% от X: 0.1X.

Таким образом, после первого года у Петра будет (X + 0.1X) = 1.1X рублей.

После снятия части денег у Петра останется (1.1X - Y) рублей, где Y - сумма, которую он снял.

После второго года эту сумму банк снова начислит под 10% годовых: 0.1(1.1X - Y) = 0.11X - 0.1Y.

Таким образом, после второго года у Петра будет (1.1X - Y + 0.11X - 0.1Y) = (1.21X - 1.1Y) рублей.

Если бы Петр не снимал деньги, то через три года у него было бы (1.1X)^3 рублей.

Из условия задачи известно, что если Петр не снимал деньги, то его сумма через три года была бы на 4 950 рублей больше, чем в случае снятия денег:

(1.1X)^3 - (1.21X - 1.1Y) = 4,950.

Возведем (1.1X)^3 в куб и раскроем скобки:

1.331X^3 - (1.331X^2Y - 1.21XY + 1.1Y^2) = 4,950.

Теперь мы можем упростить уравнение:

1.331X^3 - 1.331X^2Y + 1.21XY - 1.1Y^2 = 4,950.

Нам известно также, что через два года Петр внес еще 100,000 рублей на свой счет. Это значит, что после двух лет сумма на его счете стала равной (1.21X - 1.1Y + 100,000) рублей.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1.331X^3 - 1.331X^2Y + 1.21XY - 1.1Y^2 = 4,950, (уравнение 1) 1.21X - 1.1Y + 100,000 = (1.21X - 1.1Y + 100,000). (уравнение 2)

Вычтем уравнение 2 из уравнения 1, чтобы устранить переменные X и Y:

1.331X^3 - 1.21X - 1.331