Question

А такой слабо ? Можно ли занумеровать ребра куба натуральными числами – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6. так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров ребер, которые в ней сходятся, была одинаковой?

Answer 1

Да, можно, надо поставить противоположные числа на противоположные по диагональному сечению ребра. Так как сумма всех номеров ребер равна нулю, то и сумма трех ребер сделаем равно нулю. 
Возьмем для примера куб  $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$
Сделаем  $AD=-6$
Чтобы уравнить в вершинах A и D возьмем
$DC=1$
$DD_{1} =5$
$AA _{1} =4$
$AB=2$
Далее получаем противоположные по диагональному сечению ребра
$B _{1}C_{1} =6$
$A _{1}B _{1}=-1$
$BB _{1}=-5$
$CC_{1}=-4$
$D_{1}C_{1}=-2$
Ну и остается поставить только ребра 3 и -3. И очевидно что это ребра
$BC=3$
$A_{1}D_{1}=-3$

Answer 2

Да, возможно занумеровать ребра куба указанными натуральными числами таким образом, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров ребер, сходящихся в этой вершине, была одинаковой.

В данном случае, для каждой вершины куба, сумма номеров ребер, сходящихся в этой вершине, должна быть равна нулю. Для этого, каждому положительному числу, представляющему ребро куба, должно соответствовать отрицательное число, представляющее противоположное ребро. Например, если ребро куба обозначено числом 1, то противоположное ребро будет обозначено числом -1. Таким образом, сумма номеров ребер, сходящихся в каждой вершине, будет равна 0.

Вот один из возможных вариантов нумерации ребер куба с указанными числами:

1 - противоположное ребро: -1 2 - противоположное ребро: -2 3 - противоположное ребро: -3 4 - противоположное ребро: -4 5 - противоположное ребро: -5 6 - противоположное ребро: -6

Таким образом, для каждой вершины куба сумма номеров ребер, сходящихся в ней, будет равна 0.