Question

Дан выпуклый четырехугольник ABCD и точка M внутри него. Оказалось, что все тре-угольники ABM, BCM, CDM и DAM – равнобедренные. Докажите, что среди отрезков AM, BM, CM и DM найдутся хотя бы два одинаковых по длине.

Answer 1

Так рассм. треугольники abm и mcd . Они равны, так как ab=cd bm=mc 
уголы b=c. Значит am=md то есть треугольник amd - равнобедр

Answer 2

Давайте докажем это утверждение от противного.

Предположим, что все четыре отрезка AM, BM, CM и DM имеют разные длины.

Так как треугольники ABM, BCM, CDM и DAM являются равнобедренными, это означает, что AM = BM, BM = CM, CM = DM и DM = AM.

Из этих равенств мы можем заключить, что AM = BM = CM = DM.

Но по нашему предположению, все отрезки AM, BM, CM и DM имеют разные длины. Получаем противоречие.

Следовательно, предположение о том, что все четыре отрезка имеют разные длины, неверно.

Таким образом, среди отрезков AM, BM, CM и DM обязательно найдутся хотя бы два одинаковых по длине.