Question

Вычислите производную функцию в точках 0;3 f(x)=x·√x+1 x+1 -под корнем

Answer 1

f`(x)=√(x+1)+x*(1/2)*(x+1)^(-1/2)=√(x+1)+x/(2√(x+1))

f`(0)=√1+0=1

f`(3)=√4+3/(2*√4)=2+3/4=2.75

Answer 2

f'(x)=1*√(x+1) + x* 1/2√(x+1 ) * (x+1) ' =√(x+1)+x/2√(x+1)

f'(0)= 1+0/2= 1+0=1

f'(3)= √(3+1) + 3/2√(3+1) = 2+3/2*2 = 2+3/4= 2,75

Answer 3

Для вычисления производной функции f(x) = x·√(x+1)/(x+1) под корнем в точках x = 0 и x = 3, применим правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования функции под корнем. Давайте посчитаем производную для каждой точки по отдельности.

1. При x = 0: f'(0) = lim(h->0) [f(0+h) - f(0)] / h = lim(h->0) [(0+h)·√((0+h)+1)/(0+h+1) - 0·√(0+1)/(0+1)] / h = lim(h->0) [h·√(h+1)/(h+1)] / h = lim(h->0) √(h+1)/(h+1) = √(0+1)/(0+1) = 1/1 = 1

2. При x = 3: f'(3) = lim(h->0) [f(3+h) - f(3)] / h = lim(h->0) [(3+h)·√((3+h)+1)/(3+h+1) - 3·√(3+1)/(3+1)] / h = lim(h->0) [(3+h)·√(h+4)/(h+4) - 3·√4/4] / h = lim(h->0) [(3+h)·√(h+4)/(h+4) - 3] / h

Таким образом, мы не можем найти производную функции f(x) в точке x = 3, так как она содержит неопределенность 0/0. Для дальнейшего вычисления требуется использовать другие методы, такие как правило Лопиталя или разложение в ряд Тейлора.