Question

3 sin^2x-cosx+1=0 Помогите решить

Answer 1

$3 sin^2x-cosx+1=0$
$3 sin^2x+1-cosx=0$
$3 sin^2x+2sin^2 \frac{x}{2} =0$
$3*4 sin^2 \frac{x}{2}cos^2 \frac{x}{2} +2sin^2 \frac{x}{2} =0$
$12 sin^2 \frac{x}{2}cos^2 \frac{x}{2} +2sin^2 \frac{x}{2} =0$
$6 sin^2 \frac{x}{2}cos^2 \frac{x}{2} +sin^2 \frac{x}{2} =0$
$sin^2 \frac{x}{2}(6cos^2 \frac{x}{2} +1) =0$
$sin^2 \frac{x}{2}=0$          или        $6cos^2 \frac{x}{2} +1 =0$
$sin \frac{x}{2} =0$            или        $cos^2 \frac{x}{2} =- \frac{1}{6}$
$\frac{x}{2} = \pi n,$  $n$ ∈  $Z$    или       ∅
$x} = 2\pi n,$  $n$ ∈  $Z$

$sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1-cosx}{2}$ ⇒   $2sin^2 \frac{x}{2}=1-cosx$
$sin2x=2sinxcosx$ ⇒    $sinx=2sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по шагам.

1. Начнем с приведения тригонометрических функций к квадратам синуса и косинуса: 3sin^2x - cosx + 1 = 0 3(1 - cos^2x) - cosx + 1 = 0

2. Раскроем скобки: 3 - 3cos^2x - cosx + 1 = 0

3. Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения: -3cos^2x - cosx + 4 = 0

4. Решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: Дискриминант D = b^2 - 4ac D = (-1)^2 - 4(-3)(4) = 1 + 48 = 49

5. Так как дискриминант положительный, у нас есть два вещественных корня: cosx = (-b ± √D) / (2a) cosx = (-(-1) ± √49) / (2(-3)) cosx = (1 ± 7) / (-6)

6. Разобьем на два случая:

   a) cosx = (1 + 7) / (-6) cosx = 8 / (-6) cosx = -4 / 3

   b) cosx = (1 - 7) / (-6) cosx = -6 / 6 cosx = -1

7. Найдем значения sinx для каждого значения cosx:

   a) cosx = -4 / 3 sin^2x = 1 - cos^2x sin^2x = 1 - (-4/3)^2 sin^2x = 1 - 16/9 sin^2x = 9/9 - 16/9 sin^2x = -7/9 (отрицательное значение не подходит)

   b) cosx = -1 sin^2x = 1 - cos^2x sin^2x = 1 - (-1)^2 sin^2x = 1 - 1 sin^2x = 0

8. Итак, получили два значения: cosx = -4/3 и sinx = 0, и cosx = -1 и sinx = 0.

Таким образом, решения уравнения 3sin^2x - cosx + 1 = 0 равны: a) x = arcsin(0) = 0 b) x = arccos(-1) = π