Question

Из группы в 15 человек выбирают 4-х участников эстафеты 800O400O200O100. Сколькими способами можно расставить спортсменов на этих этапах?

Answer 1

Выбрать 4 участников из 15 можно $C_{15}^4=\frac{15!}{4!\cdot11!}=\frac{12\cdot13\cdot14\cdot15}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=1365$ способами.

Расставить 4 спортсменов на 4 этапах можно 4! = 24 способами.

Значит, расставить 4 из 15 спортсменов на 4 этапах можно 1365*24 = 32760 способами.

Можно решить в одно действие: в данном случае количество вариантов расстановки будет равно количеству размещений, т.к. в нём учитывается не только состав групп, но и порядок их следования:

$A_{15}^4=\frac{15!}{(15-4)!}=\frac{15!}{11!}=12\cdot13\cdot14\cdot15=32760$

Answer 2

Чтобы определить, сколькими способами можно расставить спортсменов на этих этапах, нужно воспользоваться комбинаторной формулой для перестановок сочетаний без повторений. В данном случае у нас 15 человек, и мы выбираем 4-х из них для участия в эстафете.

Формула для числа сочетаний из n элементов по k элементов записывается следующим образом:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

где "!" обозначает факториал.

Применяя эту формулу к нашей задаче, получаем:

C(15, 4) = 15! / (4! * (15 - 4)!)

C(15, 4) = 15! / (4! * 11!)

Теперь вычислим это значение:

C(15, 4) = (15 * 14 * 13 * 12) / (4 * 3 * 2 * 1)

C(15, 4) = 1365

Таким образом, спортсменов можно расставить на этих этапах 1365 способами.