Question

Вычислить определенный интеграл: ₂∫³ ( 2х + 3) ^ 4 dx

Answer 1

Посмотрите предложенное решение.

Answer 2

Чтобы вычислить данный определенный интеграл, нам нужно сначала найти неопределенный интеграл функции (2x + 3)^4 и затем применить формулу основного свойства определенного интеграла.

Найдем первообразную функции (2x + 3)^4: ∫ (2x + 3)^4 dx

Для решения данного интеграла можно воспользоваться формулой линейной замены, где u = 2x + 3. Дифференцируем u по x: du/dx = 2. Тогда dx = du/2.

Заменяя переменную и замену дифференциала, получаем: ∫ (2x + 3)^4 dx = (1/2) ∫ u^4 du

Теперь найдем неопределенный интеграл (1/2) ∫ u^4 du: (1/2) * (u^5 / 5) + C, где C - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходной переменной x: (1/2) * (2x + 3)^5 / 5 + C

Теперь, чтобы вычислить определенный интеграл на отрезке [2, 3], подставим верхний и нижний пределы интегрирования в полученную первообразную и вычислим разность значений: ∫₂³ (2x + 3)^4 dx = [(1/2) * (2 * 3 + 3)^5 / 5 + C] - [(1/2) * (2 * 2 + 3)^5 / 5 + C]

Упростим выражение: = [(1/2) * (6 + 3)^5 / 5] - [(1/2) * (4 + 3)^5 / 5] = [(1/2) * 9^5 / 5] - [(1/2) * 7^5 / 5]

Теперь остается только выполнить вычисления: = (1/2) * (9^5 - 7^5) / 5

Данное выражение можно дальше упростить, если нужно получить численное значение.