Question

Y=(x^2+1)/(x) ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ И ПОСТРОИТЬ ЕЕ ГРАФИК

Answer 1

ДАНО
Y= (x²+1)/x.
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения - Х≠0 - деление на 0.
Х∈(-∞,0]∪[0,+∞)
2. Пересечение с осью Х
Y(x) = 0 - Корней нет - нет точек пересечения.
3. Пересечение с осью Y
X∈ ∅ 
4. Поведение на бесконечности.
Y(-∞) = -∞
Y(+∞) = +∞
5. Наклонная асимптота
Y = x.
6. Исследование на четность.
Y(-x) = - (x²+1)/x
Y(x) = (x²+1)/x
Функция нечетная.
7. Производная функции
Y' = 2 - (x2+1)/x²
8. Корни производной.
Y' = 0.  х1 = -1 и х2 = 1. -  точки экстремумов.
9. Монотонность.
Возрастает - Х∈(-∞, -1]∪[1,+∞)
Максимум - Ymax(-1) = -2
Убывает- Х∈[-1,0]∪[0,1]
Минимум - Ymin(1) = 2.
10. Построение графика
в приложении.

Answer 2

Для исследования функции Y = (x^2 + 1) / x мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции: Функция не определена при x = 0, так как в знаменателе присутствует x. Поэтому область определения функции Y: x ≠ 0.

2. Вычислить пределы функции:

   • При x, стремящемся к положительной бесконечности (x → +∞): lim (x → +∞) (x^2 + 1) / x = lim (x → +∞) (x + 1/x) = +∞.
   • При x, стремящемся к отрицательной бесконечности (x → -∞): lim (x → -∞) (x^2 + 1) / x = lim (x → -∞) (x + 1/x) = -∞.
   • При x, стремящемся к 0 справа (x → 0+): lim (x → 0+) (x^2 + 1) / x = +∞.
   • При x, стремящемся к 0 слева (x → 0-): lim (x → 0-) (x^2 + 1) / x = -∞.

3. Найти точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осью OX, решим уравнение (x^2 + 1) / x = 0: x^2 + 1 = 0 x^2 = -1 Решений нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Чтобы найти точки пересечения с осью OY, подставим x = 0 в уравнение: Y(0) = (0^2 + 1) / 0 Здесь получаем деление на 0, что не определено.

4. Найти производную функции: Y' = [(2x * x - (x^2 + 1)) / x^2] = (x^2 - 1) / x^2

5. Исследовать поведение функции в интервалах:

   • Положительные значения x: Рассмотрим интервал x > 0. Для этого интервала функция положительна и монотонно убывает.
   • Отрицательные значения x: Рассмотрим интервал x < 0. Для этого интервала функция отрицательна и монотонно возрастает.
   • В окрестности x = 0: Функция имеет вертикальную асимптоту x = 0.

6. Найти точки экстремума: Для этого приравняем производную функции Y' к нулю и решим уравнение: (x^2 -