Question

Докажите неравенство a^6+1/a^4+2a>4, при a>0

Answer 1

4a^6+4/a^4+2a>4a^4+8a/a^4+2a; 4a^6+4-4a^4-8a/a^4+2a>0; 4a^6+4-4a^4-8a>0; a^2-8a+4>0; D=64-4•1•4=64-16=48; a1=8+квадратный корень из 48/2=4+ квадратный корень из 48; a2=8- квадратный корень из 48/2=4- квадратный корень из 48

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство для положительных значений переменной a.

Мы можем начать с неравенства AM-GM (неравенство о средних арифметическом и геометрическом), которое гласит:

(a^6) + (1/a^4) + (2a) ≥ 3√((a^6) * (1/a^4) * (2a))

Упрощая правую часть, получаем:

3√((a^6) * (1/a^4) * (2a)) = 3√(2a^3)

Теперь нам нужно доказать, что 3√(2a^3) > 4.

Возводим обе части неравенства в куб:

(3√(2a^3))^3 > 4^3

2a^3 > 64

Делим обе части неравенства на 2:

a^3 > 32

Возводим обе части неравенства в степень 1/3:

a > ∛(32)

Вычисляем корень кубический из 32:

a > 2

Таким образом, мы доказали, что при положительных значениях a, неравенство a^6 + 1/a^4 + 2a > 4 выполняется при a > 2.