Question

Тригонометрические уравнения 1) Sin 18x • Cos 16x=Sin 11x • Cos 9x 2)Cos 17x • Cos 14x=Cos 12x • Cos 9x

Answer 1

1) Sin 18x • Cos 16x=Sin 11x • Cos 9x
1/2*sin34x+1/2*sin2x-1/2*sin20x-1/2*sin2x=0
sin34x-sin20=0
2sin7x*cos54x=0
sin7x=0⇒7x=πk⇒x=πk/7,k∈z
cos54x=0⇒54x=π/2+πk⇒x=π/108+πk/54,k∈z

2)Cos 17x • Cos 14x=Cos 12x • Cos 9x
1/2*cos3x+1/2*cos31x-1/2*cos3x-1/2*cos21x=0
cos31x-cos21x=0
-2sin5x*sin26x=0
sin5x=0⇒5x=πk⇒x=πk/5,k∈z
sin26x=0⇒26x=πk⇒x=πk/26,k∈z

Answer 2

Давайте решим данные тригонометрические уравнения по очереди.

1. Sin 18x • Cos 16x = Sin 11x • Cos 9x:

Мы можем использовать тригонометрические идентичности для упрощения этого уравнения.

Идентичность: Sin(a) • Cos(b) = 0.5 * [Sin(a + b) + Sin(a - b)]

Применим эту идентичность к левой части уравнения:

0.5 * [Sin(18x + 16x) + Sin(18x - 16x)] = Sin(34x) + Sin(2x)

Аналогично, применим идентичность к правой части уравнения:

0.5 * [Sin(11x + 9x) + Sin(11x - 9x)] = Sin(20x) + Sin(2x)

Теперь уравнение принимает вид:

Sin(34x) + Sin(2x) = Sin(20x) + Sin(2x)

Здесь Sin(2x) в левой и правой частях уравнения может быть сокращено. Таким образом, получаем:

Sin(34x) = Sin(20x)

Чтобы найти значения x, при которых это уравнение выполняется, мы должны учесть все значения углов, при которых Sin(34x) равен Sin(20x). Это происходит, когда аргументы Sin равны между собой плюс или минус кратное 360 градусов:

34x = 20x + 360n или 34x = -20x + 360n

14x = 360n или 54x = 360n

x = (360n) / 14 или x = (360n) / 54

где n - целое число.

Таким образом, решение первого уравнения - x = (360n) / 14 или x = (360n) / 54, где n - целое число.

2. Cos 17x • Cos 14x = Cos 12x • Cos 9x:

Мы можем использовать тригонометрические идентичности для упрощения этого уравнения.

Идентичность: Cos(a) • Cos(b) = 0.5 * [Cos(a + b) + Cos(a - b)]

Применим эту идентичность к левой части уравнения:

0.5 * [Cos(17x + 14x) + Cos(17x - 14x)] = Cos(31x) + Cos(3x)

Аналогично, применим идентичность к правой части уравнения:

0.5 * [Cos(12x + 9x) + Cos(12x - 9x)] = Cos(21x) + Cos(3x)

Теперь уравнение принимает вид:

Cos(31