Question

Путем преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)  10) 

Answer 1

 Решение смотри во вложении

Answer 2

Для удобства, давайте рассмотрим каждый интеграл по отдельности.

1. ∫(x^2 + 3x + 5) dx Раскроем скобки: ∫x^2 + ∫3x + ∫5 dx = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + 5x + C Ответ: (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + 5x + C

2. ∫(5e^x - 2cos(x)) dx Интегрируем каждое слагаемое по отдельности: ∫5e^x dx - ∫2cos(x) dx = 5∫e^x dx - 2∫cos(x) dx = 5e^x - 2sin(x) + C Ответ: 5e^x - 2sin(x) + C

3. ∫(1/x^2) dx Этот интеграл можно выразить через элементарные функции: ∫(1/x^2) dx = -1/x + C Ответ: -1/x + C

4. ∫(sqrt(x) + 2/x) dx Распишем слагаемые и проинтегрируем их по отдельности: ∫sqrt(x) dx + ∫(2/x) dx = (2/3)x^(3/2) + 2ln|x| + C Ответ: (2/3)x^(3/2) + 2ln|x| + C

5. ∫(3sin(x) + 4cos(x)) dx Интегрируем каждое слагаемое по отдельности: ∫3sin(x) dx + ∫4cos(x) dx = -3cos(x) + 4sin(x) + C Ответ: -3cos(x) + 4sin(x) + C

6. ∫(1 + e^x)/(1 + e^x) dx Заметим, что числитель и знаменатель равны, поэтому интеграл равен: ∫1 dx = x + C Ответ: x + C

7. ∫(2x + 3)/(x^2 + 3x + 2) dx Раскроем знаменатель на множители: ∫(2x + 3)/((x + 1)(x + 2)) dx Используем метод частных дробей для разложения на простейшие дроби: (2x + 3)/((x + 1)(x + 2)) = A/(x + 1) + B/(x + 2) Решая систему уравнений для коэффициентов A и B, получаем A = 1 и B = 1. Теперь интегрируем: ∫(2x + 3)/((x + 1)(x + 2)) dx = ∫(1/(x + 1