Question

Скорость точки задана уравнением v=3t²-8t-3(м/с). Найти путь, пройденный телом за время от начала движения до остановки.

Answer 1

Точка остановится, когда ее скорость будет равна 0. Т.е. v=0. Значит
$3t^{2}-8t-3=0$
$t_{1,2}= \frac{8+- \sqrt{8^{2}+4*3*3} }{2*3}= \frac{8+- \sqrt{64+36} }{6}= \frac{8+- \sqrt{100}}{6}= \frac{8+-10}{6}$
Поскольку время не может быть отрицательным, возьмем только положительный корень уравнения:
$t= \frac{8+10}{6}=\frac{18}{6}=3$
Т.е. точка остановится через 3 секунды после начала движения.
$\int\limits^3_0 {(3t^{2}-8t-3)} \, dt= (\frac{3t^{3}}{3}- \frac{8t^{2}}{2}-3t) |\limits^3_0=$
$(t^{3}-4t^{2}-3t) |\limits^3_0=27-4*9-3*3=27-36-9=-18$ (м)

Answer 2

Для нахождения пути, пройденного телом за время от начала движения до остановки, мы должны проинтегрировать уравнение скорости по времени. Интегрируя скорость, мы получим путь. В данном случае, у нас есть уравнение скорости:

v = 3t^2 - 8t - 3 (м/с).

Чтобы найти путь, проинтегрируем это уравнение по времени:

∫v dt = ∫(3t^2 - 8t - 3) dt.

Интегрируя каждый член отдельно, получаем:

s = t^3 - 4t^2 - 3t + C,

где s - путь, пройденный телом, и C - постоянная интегрирования.

Теперь, чтобы найти путь от начала движения до остановки, мы должны найти значения времени t1 и t2, когда скорость равна нулю. Из уравнения скорости:

v = 3t^2 - 8t - 3 = 0.

Решая это квадратное уравнение, мы найдем значения времени t1 и t2. После этого мы сможем найти путь, подставив эти значения в уравнение для пути s:

s = t^3 - 4t^2 - 3t + C.

Таким образом, чтобы найти путь, пройденный телом за время от начала движения до остановки, необходимо решить квадратное уравнение v = 0 и подставить полученные значения времени в уравнение для пути s.