Question

Найти угол между x + y-z = 0 и плоскостью 3x + 5y-4z + 2 = 0

Answer 1

Ответ:

$arccos(\frac{2\sqrt{6}}{5})$

Пошаговое объяснение:

Угол между плоскостями равен углу между их векторами нормали.

$n_1=(1;1;-1)\\n_2=(3;5;-4)\\cos(\phi)=\frac{n_1n_2}{|n_1||n_2|}\\n_1n_2=1*3+1*5+(-1)*(-4)=12\\|n_1|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3}\\|n_2|=\sqrt{3^2+5^2+(-4)^2}=5\sqrt{2}\\cos(\phi)=\frac{12}{\sqrt{3}*5\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\\\phi=arccos(\frac{2\sqrt{6}}{5})$

Answer 2

Для определения угла между двумя плоскостями в трехмерном пространстве мы можем использовать формулу, которая использует нормали плоскостей. Нормаль к плоскости определяется коэффициентами при переменных в уравнении плоскости.

Итак, у нас есть две плоскости:

1. Плоскость 1: x + y - z = 0 Нормаль к плоскости 1: (1, 1, -1)

2. Плоскость 2: 3x + 5y - 4z + 2 = 0 Нормаль к плоскости 2: (3, 5, -4)

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между ними:

cos(θ) = (нормаль1 · нормаль2) / (|нормаль1| * |нормаль2|)

где "·" обозначает скалярное произведение векторов, а "|" обозначает модуль вектора.

Вычислим:

нормаль1 · нормаль2 = (1 * 3) + (1 * 5) + (-1 * -4) = 3 + 5 + 4 = 12 |нормаль1| = √(1^2 + 1^2 + (-1)^2) = √3 |нормаль2| = √(3^2 + 5^2 + (-4)^2) = √50

Теперь мы можем найти cos(θ):

cos(θ) = 12 / (√3 * √50) = 12 / (√150) ≈ 0.9798

Наконец, чтобы найти угол θ, мы можем взять обратный косинус (арккосинус) от cos(θ):

θ = arccos(0.9798) ≈ 12.722 градусов

Таким образом, угол между плоскостью x + y - z = 0 и плоскостью 3x + 5y - 4z + 2 = 0 составляет примерно 12.722 градусов.