Question

Известно, что a+b+c=17,а 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)=17/20. Найдите сумму a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b).

Answer 1

Из первого равенства выразив a+b, b+c, a+c и подставляя во второе равенство мы получим :

$\dfrac{1}{17-c}+\dfrac{1}{17-a}+\dfrac{1}{17-b}=\dfrac{17}{20}$

Подсчитаем нужную сумму для нас

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a}{17-a}+\dfrac{b}{17-b}+\dfrac{c}{17-c}=\\ \\ \\ =-\dfrac{17-a-17}{17-a}-\dfrac{17-b-17}{17-b}-\dfrac{17-c-17}{17-c}=-1+\dfrac{17}{17-a}-1+\\ \\ \\ +\dfrac{17}{17-b}-1+\dfrac{17}{17-c}=-3+17\cdot \left(\dfrac{1}{17-a}+\dfrac{1}{17-b}+\dfrac{1}{17-c}\right)=\\ \\ \\ =-3+17\cdot\dfrac{17}{20}=\dfrac{-60+289}{20}=\dfrac{229}{20}=11.45$

Answer 2

Дано: a + b + c = 17 ............(1) 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) = 17/20 ............(2)

Мы хотим найти: S = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)

Давайте решим эту задачу, используя алгебраические преобразования.

Для начала, заметим, что: (a + b + c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)) = 3 + (a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b))

Раскроем скобки в левой части: (a/(a+b) + b/(a+b) + b/(b+c) + c/(b+c) + c/(c+a) + a/(c+a)) = 3 + (a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b))

Заменим выражение в скобках на S: 2S + 3 = 3 + S

Вычтем 2 из обеих сторон уравнения: 2S = S

Таким образом, мы получаем S = 0.

Ответ: Сумма a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) равна 0.