Question

СРОЧНО Факториалом числа N называется произведение всех целых чисел от 1 до N включительно. При каком наименьшем N число (N!)^3 делится на 70!?

Answer 1

Ответ:

7

Пошаговое объяснение:

70=2*5*7 значит 7 должно входить в число которое делится на 70 2 и 5 будут раньше меньше нельзя на 7 не делится

Answer 2

Чтобы определить, при каком наименьшем N число (N!)^3 делится на 70!, нужно разложить 70! и (N!)^3 на простые множители и сравнить их степени.

Формула для факториала N записывается как N! = 1 * 2 * 3 * ... * N.

Разложим 70! на простые множители. Поскольку нам нужно только определить минимальное N, мы можем использовать только наименьшие простые числа (2, 3, 5, 7, 11 и т.д.) для упрощения расчетов.

70! = 2^a * 3^b * 5^c * 7^d * 11^e * ...

Теперь рассмотрим (N!)^3. Это означает, что каждый простой множитель N! повторяется три раза.

(N!)^3 = (2^a * 3^b * 5^c * 7^d * 11^e * ...)^3 = 2^(3a) * 3^(3b) * 5^(3c) * 7^(3d) * 11^(3e) * ...

Чтобы число (N!)^3 делилось на 70!, необходимо, чтобы степень каждого простого множителя в (N!)^3 была не меньше, чем его степень в 70!.

Теперь рассмотрим простые множители числа 70! и определим их степени:

2^a: a = 70/2 + 70/4 + 70/8 + ... = 35 + 17 + 8 + ... = 35 + 17 + 8 + 4 + 2 + 1 = 67 3^b: b = 70/3 + 70/9 + 70/27 + ... = 23 + 7 + 2 + ... = 23 + 7 + 2 + 1 = 33 5^c: c = 70/5 + 70/25 = 14 + 2 = 16 7^d: d = 70/7 = 10

Мы не рассматриваем простые множители больше 7, поскольку они не присутствуют в числе 70!.

Теперь сравним степени каждого простого множителя в (N!)^3 и 70!:

2^(3a) должно быть не меньше, чем 67. 3^(3b) должно быть не меньше, чем 33. 5^(3c) должно быть не меньше, чем 16. 7^(3d) должно быть не меньше, чем 10.

Теперь найдем минимальное N, удовлетворяющее этим условиям:

2^(3a) >= 67 3^(3b) >= 33 5^(3c) >= 16 7^(3d) >= 10

Минимальное N, у