Question

Вычисление неопределеного интеграла: 1)J4(2x+9)^2 dx 2)J(3+x)sinxdx 3)J(10x^2-9)^5x dx

Answer 1

Уравнения координат трех тел имеют вид: х1 = 6 + 7t2, х2 = 5t2,  x3 = 9t - 4t2.  Укажите характер движения тел. Чему равно ускорение для каждого случая? Напишите уравнения vx = vx(t) для этих тел. Постройте графики зависимости скорости от времени для каждого случая

Answer 2

Для каждого из заданных неопределенных интегралов применим соответствующие методы интегрирования. Вот решение каждого из них:

1. Рассмотрим интеграл: ∫ (2x+9)^2 dx

Чтобы найти неопределенный интеграл этой функции, можно использовать метод подстановки. Обозначим u = 2x + 9, тогда du/dx = 2, и dx = du/2. Заменим переменные:

∫ (2x+9)^2 dx = ∫ u^2 (du/2) = (1/2) ∫ u^2 du

Теперь проинтегрируем:

(1/2) ∫ u^2 du = (1/2) * (u^3/3) + C = (1/6) u^3 + C

Вернемся к исходной переменной x:

(1/6) (2x + 9)^3 + C

Таким образом, неопределенный интеграл ∫ (2x+9)^2 dx равен (1/6) (2x + 9)^3 + C.

2. Рассмотрим интеграл: ∫ (3+x)sin(x) dx

В данном случае применим интегрирование методом по частям (интегрирование по частям):

∫ u dv = uv - ∫ v du

Обозначим u = (3+x) и dv = sin(x) dx. Тогда du/dx = 1 и v = -cos(x). Применим формулу интегрирования по частям:

∫ (3+x)sin(x) dx = -(3+x)cos(x) - ∫ (-cos(x)) dx

Теперь проинтегрируем последний член:

∫ (-cos(x)) dx = sin(x) + C

Подставим это обратно в исходное выражение:

-(3+x)cos(x) - sin(x) + C

Таким образом, неопределенный интеграл ∫ (3+x)sin(x) dx равен -(3+x)cos(x) - sin(x) + C.

3. Рассмотрим интеграл: ∫ (10x^2-9)^5x dx

В данном случае применим метод замены переменных. Обозначим u = 10x^2 - 9, тогда du/dx = 20x, и dx = du/(20x). Заменим переменные:

∫ (10x^2-9)^5x dx = ∫ u^5x (du/(20x)) = (1/20) ∫ u^5 du

Теперь проинтегрируем:

(1/20) ∫ u^5 du = (1/20) * (u^6/6) + C = (u^6/120) + C

Вернемся к исходной переменной x:

(u^6/120) + C = ((10x^2 - 9)^6/120)