Question

Пожалуйста помогите решить систему методом Крамера. Решение распишите подробнее. Очень хочется разобраться на этом примере. 3x+5y+7z=1 2x-y=2 4x+3y+2z=-1

Answer 1

Строишь матрицу по системе уравнений:
$\left[\begin{array}{ccc}3x&5y&7z\\2x&-1y&0?\\4x&3y&2z\end{array}\right]$ (x, y, z написал для наглядности)..

...и вектор к нему(из результатов уравнения) $\left[\begin{array}{ccc}1\\2\\-1\end{array}\right]$

Формула для нахождения определителя методом треугольника:
a₁₁*a₂₂*a₃₃ - a₁₁*a₃₂*a₂₃ - a₁₂*a₂₁*a₃₃ + a₁₂*a₃₁*a₂₃ + a₁₃*a₂₁*a₃₂ - a₁₃*a₃₁*a ₂₂
(a - элемент матрицы, нижние индексы - позиция элемента в матрице).

Методом треугольника находишь определитель матрицы:
∆ = 3*(-1)*2 - 3*0*3 - 2*5*2 + 2*7*3 + 4*5*0 - 4*7*(-1) = 44
Чтобы решать дальше, определитель не должен быть равен нулю.

Заменяешь первый столбец матрицы(x), на вектор:
$\left[\begin{array}{ccc}1&5&7\\2&-1&0\\-1&3&2\end{array}\right]$
Методом треугольника находишь определитель матрицы:
∆x = 1*(-1)*2 - 1*0*3 - 2*5*2 + 2*7*3 + (-1)*5*0 - (-1)*7*(-1) = 13

Заменяешь второй столбец матрицы(y), на вектор:
$\left[\begin{array}{ccc}3&1&7\\2&2&0\\4&-1&2\end{array}\right]$
Методом треугольника находишь определитель матрицы:
∆y = 3*2*2 - 3*0*(-1) - 2*1*2 + 2*7*(-1) + 4*1*0 - 4*7*2 = -62

Заменяешь третий столбец матрицы(z), на вектор:
$\left[\begin{array}{ccc}3&5&1\\2&-1&2\\4&3&-1\end{array}\right]$
Методом треугольника находишь определитель матрицы:
∆z = 3*(-1)*(-1) - 3*2*3 - 2*5*(-1) + 2*1*3 + 4*5*2 - 4*1*(-1) = 45

Когда все определители найдены по очереди делишь определители ∆x, ∆y, ∆z на ∆(определитель первой матрицы). 
x = $\frac{13}{44} = 0.295$
y = $\frac{-62}{44} = -1.409$
z = $\frac{45}{44} = 1.023$

Проверка обычной заменой:
$3*0.295+5*(-1.409)+7*1.023 = 1$
$2*0.295-1*(-1.409)+0*1.023 = 2$
$4*0.295+3*(-1.409)+2*1.023 = -1$

Answer 2

Хорошо, давайте решим данную систему уравнений методом Крамера. Для начала, давайте обозначим коэффициенты перед неизвестными переменными в системе:

A = | 3 5 7 | | 2 -1 0 | | 4 3 2 |

B = | 1 | | 2 | |-1 |

Теперь найдем определитель матрицы A, обозначенный как det(A).

det(A) = 3*(-12 - 30) - 5*(22 - 40) + 7*(23 - 4(-1)) = 3*(-2) - 5*(4) + 7*(10) = -6 - 20 + 70 = 44

Определитель матрицы A равен 44. Теперь найдем определители матрицы, в которой заменены столбцы со значениями B:

det(Ax) = | 1 5 7 | | 2 -1 0 | |-1 3 2 |

det(Ay) = | 3 1 7 | | 2 2 0 | | 4 -1 2 |

det(Az) = | 3 5 1 | | 2 -1 2 | | 4 3 -1 |

Вычислим определители det(Ax), det(Ay) и det(Az):

det(Ax) = 1*(-12 - 30) - 5*(22 - 40) + 7*(23 - (-1)(-1)) = 1*(-2) - 5*(4) + 7*(7) = -2 - 20 + 49 = 27

det(Ay) = 3*(22 - 40) - 1*(24 - (-1)0) + 7(2(-1) - 43) = 3(4) - 1*(8) + 7*(-14) = 12 - 8 - 98 = -94

det(Az) = 3*(-12 - (-1)3) - 5(2(-1) - 43) + 1(23 - 4(-1)) = 3*(-2) - 5*(-10) + 1*(8) = -6 + 50 + 8 = 52

Теперь мы можем найти значения переменных x, y и z, используя формулы:

x = det(Ax) / det(A) = 27 / 44 y = det(Ay) / det(A) = -94 / 44 z = det(Az) / det(A) = 52 / 44

Таким образом, получаем значения:

x = 27 / 44 y = -94 / 44 z = 52 / 44

Выполняя вычисления, получим приближенные значения:

x ≈ 0.614 y