Question

Вычислить частные производные первого и второго порядка функции z=arcsin(3x+y^2)

Answer 1

$z=arcsin(3x+y^2)\\\\z'_{x}= \frac{1}{ \sqrt{1-(3x+y^2)^2}}\cdot 3\\\\z'_{y}= \frac{1}{ \sqrt{1-(3x+y^2)^2}}\cdot 2y$

Answer 2

Чтобы вычислить частные производные первого и второго порядка функции z = arcsin(3x + y^2), нам нужно применить правила дифференцирования для функции arcsin и композиции функций. Давайте начнем с частных производных первого порядка.

Частная производная по x (dz/dx): Для вычисления частной производной по x, мы дифференцируем внутреннюю функцию (3x + y^2) по x и умножаем на производную arcsin(3x + y^2) по своему аргументу (3 + 0):

dz/dx = d(arcsin(3x + y^2))/d(3x + y^2) * d(3x + y^2)/dx = (1/sqrt(1 - (3x + y^2)^2)) * 3 = 3/sqrt(1 - (3x + y^2)^2)

Частная производная по y (dz/dy): Для вычисления частной производной по y, мы дифференцируем внутреннюю функцию (3x + y^2) по y и умножаем на производную arcsin(3x + y^2) по своему аргументу (0 + 2y):

dz/dy = d(arcsin(3x + y^2))/d(3x + y^2) * d(3x + y^2)/dy = (1/sqrt(1 - (3x + y^2)^2)) * 2y = 2y/sqrt(1 - (3x + y^2)^2)

Теперь рассмотрим частные производные второго порядка.

Частная производная второго порядка по x (d²z/dx²): Для вычисления частной производной второго порядка по x, мы дифференцируем выражение для частной производной по x (3/sqrt(1 - (3x + y^2)^2)) по x:

d²z/dx² = d(3/sqrt(1 - (3x + y^2)^2))/dx = d(3/sqrt(1 - (3x + y^2)^2))/d(1 - (3x + y^2)^2) * d(1 - (3x + y^2)^2)/dx = (-3 * 2(3x + y^2))/[2(sqrt(1 - (3x + y^2)^2))^3] * (-3) = (9(3x + y^2))/(sqrt(1 - (3x + y^2)^2))^3

Частная производная второго порядка по y (d²z/dy²): Для вычисления частной производной второго порядка по y, мы дифференцируем выражение для частной производной по y (2y/s