Question

Помогите пожалуйста с математикой С помощью математической индукции определите: выражение (6^2n)-1, кратно 35?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

При n=1:

6^(2·1) -1=6²-1=36-1=35 - число 35 кратно 35.

База индукции выполняется.

Индуктивное предположение. Допустим:

6²ⁿ-1=35k, где k∈N.

Нужно доказать, что 6²⁽ⁿ⁺¹⁾-1 кратно 35.

6²⁽ⁿ⁺¹⁾ -1=6²ⁿ⁺² -1=6²ⁿ *(35+1)-1=6²ⁿ*35+6²ⁿ-1=6²ⁿ*35+35k=35(6²ⁿ+k) - кратно 35.

Заключение: на основании математической индукции выражение 6²ⁿ-1 кратно 35.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение (6^(2n)) - 1 кратно 35, мы будем использовать математическую индукцию.

Шаг 1: База индукции Для n = 1, выражение принимает вид (6^(2*1)) - 1 = (6^2) - 1 = 35, что явно кратно 35. Таким образом, база индукции выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого положительного целого числа k выражение (6^(2k)) - 1 кратно 35.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что если предположение индукции выполняется для k, то оно также выполняется для k+1.

Рассмотрим выражение (6^(2(k+1))) - 1 = (6^(2k+2)) - 1. Мы можем переписать это выражение следующим образом: (36 * 6^(2k)) - 1.

Заметим, что 36 кратно 35, поскольку 36 = 35 + 1. Таким образом, мы можем выразить (36 * 6^(2k)) - 1 в виде 35 * 6^(2k) + (6^(2k)) - 1.

По предположению индукции, (6^(2k)) - 1 кратно 35. Также, очевидно, что 35 * 6^(2k) кратно 35.

Значит, их сумма (35 * 6^(2k) + (6^(2k)) - 1) также кратна 35.

Таким образом, мы доказали, что если предположение индукции выполняется для k, то оно также выполняется для k+1.

Следовательно, по принципу математической индукции, выражение (6^(2n)) - 1 кратно 35 для всех положительных целых чисел n.