Question

Помогите разобраться по математике, пожалуйста. В уравнении log0.5 ( cosx+sin2x+4) = -2 у меня получилось два корня x= -п/6 + пn и x= -5п/6+ пn , но в ответах еще один x= п/2+пn. Откуда он взялся? Сразу уточню, что я решала уравнение, деля обе части на cosx. Надеюсь, тут возможно понять, что написано :)

Answer 1

ты просто забыла, что соsx имеет свои корни: х=π\2+пn. поэтому нельзя сокращать на cos, sin, tg и ctg.

Answer 2

Да, я понимаю ваш вопрос. Давайте разберемся с уравнением log₀.₅(cosx + sin²x + 4) = -2.

Когда вы делите обе части уравнения на cosx, необходимо учесть, что cosx может быть равен нулю в некоторых точках. В данном уравнении, если cosx = 0, то левая сторона становится неопределенной, поэтому мы должны исключить такие значения из решения.

Давайте рассмотрим каждую из ваших корней:

1. x = -π/6 + πn, где n - целое число. В этом случае, когда подставляем x в уравнение, получаем:

log₀.₅(cos(-π/6 + πn) + sin²(-π/6 + πn) + 4) = -2.

Если мы упростим это уравнение, у нас получится:

log₀.₅(√3/2 + 1/4 + 4) = -2,

log₀.₅(25/4 + √3/2) = -2.

Значение внутри логарифма положительное, и мы можем продолжить решение. Решая это уравнение относительно n, мы получим:

25/4 + √3/2 = ₀.₅^(-2).

После решения этого уравнения относительно n, мы получаем целочисленное значение n = 0. Поэтому первый корень x = -π/6.

2. x = -5π/6 + πn, где n - целое число. Аналогично, подставляя x в уравнение, мы получаем:

log₀.₅(cos(-5π/6 + πn) + sin²(-5π/6 + πn) + 4) = -2.

Если мы упростим это уравнение, у нас получится:

log₀.₅(-√3/2 + 1/4 + 4) = -2,

log₀.₅(25/4 - √3/2) = -2.

Опять же, значение внутри логарифма положительное, и мы можем продолжить решение. Решая это уравнение относительно n, мы получаем:

25/4 - √3/2 = ₀.₅^(-2).

Решая это уравнение относительно n, мы получаем целочисленное значение n = 0. Поэтому второй корень x = -5π/6.

Теперь давайте рассмотрим третий корень:

3. x = π/2 + πn, где n - целое число. Если мы подставим это значение x в уравнение, мы получим:

log₀.₅(cos(π/2 + πn) + sin²(π/2 + πn) +