Question

Чему равен остаток от деления 10 в тысячной степени на 63

Answer 1

Посмотрим, какие остатки дают различные степени 10:
$10\equiv10(mod63)\\10^2\equiv100\equiv37(mod63)\\10^3\equiv370\equiv55(mod63)\\10^4\equiv550\equiv46(mod 63)\\10^5\equiv460\equiv19(mod63)\\10^6\equiv190\equiv1(mod63)$

То есть через каждые 6 степеней остаток повторяется.
$1000\equiv4(mod6)$
А значит  $10^{1000}$ дает такой же остаток, что и  ${10^4}$

Это остаток 46.

Ответ: 46

Answer 2

Для вычисления остатка от деления 10 в тысячной степени на 63 можно воспользоваться алгоритмом возведения в степень по модулю.

Алгоритм заключается в последовательном возведении числа в степень и нахождении остатка от деления на 63 на каждом шаге. Это позволяет избежать вычисления больших чисел и снизить сложность вычислений.

В данном случае, мы хотим найти остаток от деления 10 в тысячной степени на 63. Можно начать с 10 и последовательно возводить его в квадрат и брать остаток от деления на 63:

10^1 ≡ 10 (mod 63) 10^2 ≡ 100 ≡ 37 (mod 63) 10^4 ≡ (10^2)^2 ≡ 37^2 ≡ 1369 ≡ 10 (mod 63) 10^8 ≡ (10^4)^2 ≡ 10^2 ≡ 37 (mod 63) 10^16 ≡ (10^8)^2 ≡ 37^2 ≡ 1369 ≡ 10 (mod 63)

Заметим, что с каждым шагом мы снова получаем остаток 10. Таким образом, остаток от деления 10 в тысячной степени на 63 также будет равен 10.

Итак, остаток от деления 10 в тысячной степени на 63 равен 10.