Question

Исследуйте функцию на монотонность и ограниченность Xn=(2n+30)/n. Помогите пожалуйста, желательно подробнее

Answer 1

_____________________

Answer 2

Для исследования функции на монотонность и ограниченность, рассмотрим функцию $X_n = \frac{2n + 30}{n}$, где $n$ - положительное целое число.

1. Монотонность:

Для определения монотонности функции нужно проанализировать знак производной функции. Если производная всегда положительна или всегда отрицательна, то функция монотонна.

Давайте найдем производную функции $X_n$:

$X_n = \frac{2n + 30}{n}$ $X_n = 2 + \frac{30}{n}$

Теперь возьмем производную по переменной $n$:

$\frac{dX_n}{dn} = -\frac{30}{n^2}$

Производная отрицательна при любом положительном значении $n$, поэтому функция $X_n$ является убывающей (монотонно убывающей) при $n > 0$.

2. Ограниченность:

Для определения ограниченности функции необходимо найти ее пределы при $n \to \infty$ и $n \to 0$.

a) Предел при $n \to \infty$:

$\lim_{{n \to \infty}} \frac{2n + 30}{n} = \lim_{{n \to \infty}} \left(2 + \frac{30}{n}\right) = 2 + 0 = 2$

Таким образом, при $n \to \infty$ функция $X_n$ имеет предел, равный 2.

b) Предел при $n \to 0$:

$\lim_{{n \to 0}} \frac{2n + 30}{n} = \lim_{{n \to 0}} \left(2 + \frac{30}{n}\right)$

Здесь наблюдается расходимость, поскольку $\frac{30}{n}$ стремится к бесконечности при $n \to 0$. Следовательно, функция $X_n$ не имеет предела при $n \to 0$.

Итак, на основании проведенного анализа:

• Функция $X_n$ монотонно убывает при $n > 0$.
• Функция $X_n$ имеет предел при $n \to \infty$, равный 2.
• Функция $X_n$ не имеет предела при $n \to 0$.

Обратите внимание, что ограниченность функции $X_n$ зависит от того, какая область значений $n$ рассматривается. Если $n$ ограничено сверху, то функция ограничена, так как при больших значениях $n$ функция стремится к конеч