Question

Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 8, а сумма последующих четырех членов равна 4-ем. Найдите сумму первых двенадцати членов.

Answer 1

B1(1+q+q^2+q^3)=8 
b1(q^4+q^5+q^6+q^7)=4 
 
 (q^3+q^2+q+1)/(q^4(q^3+q^2+q+1))=2   
 q^4=1/2 
 q=(1/2)^(1/4) 
 b1=8(q-1)/(q^4-1) = 16*(1-(1/2)^(1/4))  
 
 S12=b1*(q^12-1)/(q-1) = 16*(1-(1/2)^(1/4))*(1/8-1)/((1/2)^(1/4)-1)  = 14 

Answer 2

Дано, что сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 8, а сумма последующих четырех членов равна 4. Пусть первый член прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q.

Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле: S_4 = a + aq + aq^2 + aq^3 = 8 .......(1)

А сумма следующих четырех членов равна: S_8 = aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7 = 4 .......(2)

Теперь мы можем разделить уравнение (2) на уравнение (1), чтобы избавиться от неизвестного a: S_8 / S_4 = (aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7) / (a + aq + aq^2 + aq^3) = 4 / 8

Упрощая это уравнение, получаем: q^4 + q^5 + q^6 + q^7 = 1/2 .......(3)

Теперь мы можем использовать эту информацию, чтобы найти сумму первых двенадцати членов геометрической прогрессии.

S_12 = a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7 + aq^8 + aq^9 + aq^10 + aq^11

Мы знаем, что первые восемь членов (a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7) составляют сумму 8, и следующие четыре члена (aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7) составляют сумму 4.

Таким образом, мы можем заменить эти суммы в уравнении для S_12: S_12 = 8 + 4 + aq^8 + aq^9 + aq^10 + aq^11

S_12 = 12 + aq^8(1 + q + q^2 + q^3)

Теперь мы можем использовать уравнение (3), чтобы заменить q^4 + q^5 + q^6 + q^7 на 1/2:

S_12 = 12 + aq^8(1 + 1/2) S_12 = 12 + 3/2 * aq^8

Таким образом, сумма первых двенадцати членов геометрической прогрессии равна 12 + 3/2 * aq^8.