Question

Найдите область определения и множество значений функции y(x)=log2(sinx+cosx)

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Функция y(x) = log2(sin(x) + cos(x)) имеет определенные ограничения на область определения и множество значений.

Область определения: Для функции логарифма основание должно быть положительным, поэтому аргумент функции log2 должен быть положительным числом.

sin(x) + cos(x) будет положительным, когда оба синус и косинус имеют одинаковые знаки, то есть когда они положительные или отрицательные одновременно.

Для sin(x) + cos(x) > 0, рассмотрим следующие интервалы:

1. В интервале [0, π/2), оба sin(x) и cos(x) положительные, поэтому sin(x) + cos(x) > 0.
2. В интервале (π/2, π), sin(x) отрицательный, а cos(x) положительный, но sin(x) + cos(x) все равно положительное число.
3. В интервале (π, 3π/2), sin(x) и cos(x) отрицательные, поэтому sin(x) + cos(x) < 0.
4. В интервале (3π/2, 2π), sin(x) положительный, а cos(x) отрицательный, но sin(x) + cos(x) все равно положительное число.

Таким образом, область определения функции y(x) состоит из интервалов [0, π/2) и (π, 3π/2).

Множество значений: Функция log2(x) принимает значения для положительных чисел, поэтому множество значений y(x) будет зависеть от области определения функции y(x).

В интервале [0, π/2), sin(x) + cos(x) > 0, поэтому log2(sin(x) + cos(x)) будет положительным числом. Значит, множество значений в этом интервале будет положительными числами.

В интервале (π, 3π/2), sin(x) + cos(x) < 0, и функция log2 не определена для отрицательных чисел, поэтому множество значений в этом интервале будет пустым.

Таким образом, множество значений функции y(x) = log2(sin(x) + cos(x)) в области определения [0, π/2) будет положительными числами.