Question

1. Доказать, что всегда A ∩ B ⊆ A ∪ B. 2. В каком случае A ∪ B ⊆ A ∩ B? 3. Известно, что {a,b} ⊆ {c} . Что можно сказать об элементах этих множеств? 4. В каком случае A ∪ B = A ∩ B? Описать все такие случаи.

Answer 1

1) A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B ⇒  A ∩ B ⊆ A ∪ B
2) Например, если A и B совпадают
3) {a} ⊆ {c}, {b}  ⊆ {c}
4) 
- A и B совпадают
- A и B - пустые множества
- A - универс, B - произвольное множество
- A - произвольное множество, B - универс

Answer 2

1. Доказательство: Пусть x - произвольный элемент из множества A ∩ B. Это означает, что x принадлежит и множеству A, и множеству B. Тогда по определению объединения множеств, x также будет принадлежать множеству A ∪ B, так как объединение включает в себя все элементы из обоих множеств. Таким образом, мы доказали, что A ∩ B ⊆ A ∪ B.

2. A ∪ B ⊆ A ∩ B выполняется только в том случае, если множества A и B имеют общие элементы и ни одно из них не содержит дополнительных элементов, которые не принадлежат другому множеству. То есть, A и B должны быть равны между собой. Формально, A = B.

3. Если {a, b} ⊆ {c}, то это означает, что каждый элемент множества {a, b} также принадлежит множеству {c}. Так как {a, b} содержит элементы a и b, то оба этих элемента должны принадлежать множеству {c}. То есть, можно сказать, что элементы a и b являются подмножествами множества {c}.

4. Случаи, когда A ∪ B = A ∩ B:

   • Когда множества A и B равны: A = B. В этом случае объединение множества A с множеством B будет равно самому множеству A (или B), так как объединение не добавит дополнительных элементов. Также пересечение множества A с множеством B будет равно самому множеству A (или B), так как пересечение будет содержать только общие элементы.
   • Когда одно из множеств является подмножеством другого: A ⊆ B или B ⊆ A. В этом случае, объединение множества A с множеством B будет равно множеству B (или A), так как в объединении будут содержаться все элементы из большего множества. Пересечение множества A с множеством B также будет равно множеству A (или B), так как в пересечении будут только элементы, принадлежащие обоим множествам, и их будет столько же, сколько элементов в меньшем множестве.