Question

Решить уравнение(x^2-2x)^2-2(x-1)^2-1=0

Answer 1

X^4-4x^3+4x^2-2x^2+4x-3=0
x^4-4x^3+2x^2+4x-3=0
(x+1)(x^3-5x^2+7x-3)=0
1) x+1=0          2) x^3-5x^2+7x-3=0
     x1=-1                 (x-1)(x^2-4x+3)=0  =>(x-1)(x-3)=0
                                 x2=1; x3=3

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Пусть $y = x^2 - 2x$. Заменим это значение в уравнении:

$(x^2 - 2x)^2 - 2(x - 1)^2 - 1 = 0$ станет $y^2 - 2(x - 1)^2 - 1 = 0$.

Раскроем квадрат $x - 1$:

$y^2 - 2(x^2 - 2x + 1) - 1 = 0$.

Упростим выражение:

$y^2 - 2x^2 + 4x - 2 - 1 = 0$.

$y^2 - 2x^2 + 4x - 3 = 0$.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной $y$:

$y^2 - 2x^2 + 4x - 3 = 0$.

Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Где: $a = 1$, $b = 4$, $c = -2x^2 - 3$.

Подставим значения и найдем $y$:

$y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2x^2 - 3)}}{2 \cdot 1}$.

$y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8x^2 + 12}}{2}$.

$y = \frac{-4 \pm \sqrt{8x^2 + 28}}{2}$.

$y = \frac{-4 \pm \sqrt{4(2x^2 + 7)}}{2}$.

$y = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2x^2 + 7}}{2}$.

$y = -2 \pm \sqrt{2x^2 + 7}$.

Теперь, когда у нас есть выражение для $y$, мы можем вернуться к первому шагу и заменить $y$ обратно на $x^2 - 2x$:

$x^2 - 2x = -2 \pm \sqrt{2x^2 + 7}$.

Теперь решим это уравнение:

1. Рассмотрим случай с верхним знаком (+):

$x^2 - 2x = -2 + \sqrt{2x^2 + 7}$.

Перенесем все в одну сторону:

$x^2 - 2x + 2 - \sqrt{2x^2 + 7} = 0$.

2. Рассмотрим случай с нижним знаком (-):

$x^2 - 2x = -2 - \sqrt{2x^2 + 7}$