Question

Исследовать функцию с помощью первой производной :f(x)=x^4-18x^2+4

Answer 1

f(x)=x^4-18x^2+4
D(f)∈R
f(-x) =x^4-18x^2+4 четная
(0;4) точка пересечения с осью оу
f`(x)=4x³-36x=4x(x²-9)=4x(x-3)(x+3)
4x(x-3)(x+3)=0
x=0  x=3  x=-3
             _                       +                      _                   +
----------------(-3)-------------------(0)---------------------(3)----------------
убыв           min  возр             max  убыв            min  возр
ymin=y(-3)=y(3)=81-162+4=-77
ymax=y(0)=4
f``(x)=12x²-36=12(x²-3)=12(x-√3)(x+√3)
129x-√3)(x+√3)=0
x=√3  x=-√3
             +                   _                 +
------------------(-√3)-----------------(√3)------------------
вогн вниз            выпук вверх         вогн вниз
y(-√3)=y(√3)=9-54+4=-41
(-√3;-41);(√3;-41) точки перегиба

Answer 2

Чтобы исследовать функцию f(x) = x^4 - 18x^2 + 4 с помощью первой производной, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную f'(x) функции f(x). Для этого возьмите производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило степенной функции и правило суммы: f'(x) = 4x^3 - 36x

2. Найдите критические точки, решив уравнение f'(x) = 0: 4x^3 - 36x = 0

   Факторизуем это уравнение: 4x(x^2 - 9) = 0

   Получаем два решения: x = 0 и x = ±3

   Таким образом, у нас есть три критические точки: x = 0, x = -3 и x = 3.

3. Определите интервалы возрастания и убывания, используя знак производной. Рассмотрим интервалы между критическими точками и вне них.

   a) Когда x < -3, подставим x = -4 в производную: f'(-4) = 4(-4)^3 - 36(-4) = -256 + 144 = -112

   Так как f'(-4) < 0, функция f(x) убывает на интервале (-∞, -3).

   b) Когда -3 < x < 0, подставим x = -1 в производную: f'(-1) = 4(-1)^3 - 36(-1) = 4 + 36 = 40

   Так как f'(-1) > 0, функция f(x) возрастает на интервале (-3, 0).

   c) Когда 0 < x < 3, подставим x = 1 в производную: f'(1) = 4(1)^3 - 36(1) = 4 - 36 = -32

   Так как f'(1) < 0, функция f(x) убывает на интервале (0, 3).

   d) Когда x > 3, подставим x = 4 в производную: f'(4) = 4(4)^3 - 36(4) = 256 - 144 = 112

   Так как f'(4) > 0, функция f(x) возрастает на интервале (3, +∞).

4. Определите экстремальные точки, проверив знак производной в критических точках.

   a) При x = -3: f'(-3) = 4(-3)^3 - 36(-3) = -108 - (-108) = 0

   Функция f(x) имеет горизонтальный перегиб в точке x = -3